2022年度 京都府公立高校入試・中期過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
-32-6×5
=-9-30
=-39

(2)
(8a+9)/4-(6a+4)/3
={3(8a+9)-4(6a+4)}/12
=(24a+27-24a-16)/12
=11/12

(3)
(√2+√5)2
=7+2√10

(4)
0.16x-0.08=0.4 ←×100
16x-8=40 ←÷8
2x-1=5
x=3

(5)
7x-3y=11 …①
3x-2y=-1 …②
①×2-②×3がやりやすいかな?
x=5、y=8

(6)
y=1/4x2は下に凸のグラフ。
x=3のとき、y=1/4×32=9/4で最大値9にならない!
ということは、x=aのとき、最大値y=9
最大値をつくるには原点から大きく離す。
aは原点0から3より離れる負の数a<-3
9=1/4a2
2=36
a<-3より、a=-6
また、x=0のとき、最小値y=0
a=-6、b=0

(7)

△ACEで外角定理→∠CAE=92-57=35°

弧BCの円周角より、∠CBD=35°
△BCFで外角定理→x=35+92=127°

(8)
無作為に抽出した40個において、黒:白=3:37
黒は全部で50個だから、白の数は50×37/3=616.6…≒620個

大問2(確率)

(1)
全体は、6×6=36通り
a/b=2となるのは、(a、b)=(6、3)(4、2)(2、1)の3通り。
確率は3/36=1/12

(2)
出し方が曲がっている。
循環小数とは数字の並びに周期性がある無限小数。

bから考える。
b=1のとき、a/bはすべて整数になるのでない。
b=2は整数か、小数第1位が5の有限小数。
b=3のとき、÷3すると0.333…か0.666…となる1/3、2/3、4/3、5/3。
b=4は整数か有限小数。1÷4=0.25ゆえ小数第2位で終わる。
b=5は整数か小数題1位までの有限小数。
b=6のとき、1/6=1.666…で循環小数。
これ倍にした2/6、4/6、5/6も同様に循環小数。
計8通り。
確率は8/36=2/9


大問3(空間図形)

(1)

点B⊥面ADFCの距離は、BからACにひいた垂線の長さ。

(2)

四角形HDICは1組の対辺が等しく、かつ平行だから平行四辺形
これを底面としたとき、(1)のBGが四角錘B―HDICの高さにあたる。
△ABCで三平方→AC=AD=4√5cm

△ABCの面積を2通りで表すと、
4×8÷2=4√5×BG÷2
BG=4×8÷4√5=8/√5cm
四角錘B―HDICの体積は、9/2×4√5×8/√5÷3=48cm3

大問4(数量変化)

(1)

大輝が1周を走る時間は、(36-18)÷2=9分
1800mを9分で走る⇒18分間休憩⇒9分間走る

(2)

グラフを追記。大輝が休憩後、ひなたに追いつくの時間が答え。

赤線の三角形の相似比は4:1。
⑤=9分だから、①=9×①/⑤=9/5分=1分48秒
大輝の休憩が終わる9時27分の1分48秒後⇒
午前9時28分48秒

(3)
なんかイヤなんですけど(´゚д゚`)

京平は2人と反対の向きで走る。
グラフの上半分(1800~3600m)に京平を追記すると、
大輝とひなたとの交点のy座標の差が答えになる。

3人の速さを出しておく。
京平;1800÷12=分速150m
大輝;1800÷9=分速200m
ひなた;1800÷24=分速75m

京平が出発する29分後の京平と大輝の状態。
大輝は27分にA地点を出発しているので、200×2=400m進んでいる。
残りの1400mを両者は1分あたり150+200=350mずつ距離を縮めるから、
1400÷350=4分後に出会う。

29分後の京平とひなたの状態。
ひなたは24分にA地点を出発しているので、75×5=375m進んでいる。
残りは1425mで1分あたり150+75=225m縮むから、
1425÷225=19/3分後

京平が大輝とすれ違ってから、ひなたに会うまでの時間は19/3-4=7/3分
その間の移動距離は、150×7/3=350m


大問5(平面図形)

(1)

△AEF∽△ABCより、EF=7×6/9=14/3cm

(2)
ここで等角の情報を使う。

EF//BCの錯角。
△EBDと△FDCは底角が等しいから二等辺三角形
ED=EB=3cm
(1)よりEF=14/3cmなので、FD=FC=14/3-3=5/3cm
AE:EB=AF:FC=2:1
AF=5/3×2=10/3cm

(3)

わかりやすいように△DBCを等積変形で左に寄せ、△EBCにしておく。
ED:DF=3:5/3=

△CFDの面積を5とすると、△CDEは9。
AC:FC=より、△AEC=△FEC(14)×3=42
(*細かく区切ると上図のようになる)

AE:AB=より、△ABC=△AEC(42)×3/2=63
△CFD:△ABC=5:63

大問6(規則)

(1)

平方数が特徴なので、これに着目する。
左端は〇番目の平方数。
7番目の左端は、72=49

右端は〇番目の1個手前の平方数に+1した数
7番目の右端は、62+1=37
左端…37、右端…49

(2)
前問ができれば、ここも取りやすい。
n段目の左端はn2、右端は(n-1)2+1。
2+{(n-1)2+1}=1986
2n2-2n-1984=0
2-n-992=0
*30×30=900。1の位の2は1×2⇒31×32ではないかと予想する。
(n+31)(n-32)=0
n>0より、n=32
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