2022年度 京都府公立高校入試・中期過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
-32-6×5
=-9-30
=-39

(2)
(8a+9)/4-(6a+4)/3
={3(8a+9)-4(6a+4)}/12
=(24a+27-24a-16)/12
=11/12

(3)
(√2+√5)2
=7+2√10

(4)
0.16x-0.08=0.4 ←×100
16x-8=40 ←÷8
2x-1=5
x=3

(5)
7x-3y=11 …①
3x-2y=-1 …②
①×2-②×3がやりやすいかな?
x=5、y=8

(6)
y=1/4x2は下に凸のグラフ。
x=0のとき、最小値y=0
x=3のとき、y=1/4×32=9/4で最大値9にならない!
ということは、x=aのとき、最大値y=9
最大値をつくるには原点から大きく離す。
aは原点0から3より離れる負の数a<-3
9=1/4a2
2=36
a<-3より、a=-6
a=-6、b=0

(7)

△ACEで外角定理→∠CAE=92-57=35°

弧CDの円周角より、∠CBD=35°
△BCFで外角定理→x=35+92=127°

(8)
無作為に抽出した40個において、黒:白=3:37
黒は全部で50個だから、白の数は50×37/3=616.6…≒620個

大問2(確率)

(1)
全体は、6×6=36通り
a/b=2となるのは、(a、b)=(6、3)(4、2)(2、1)の3通り。
確率は3/36=1/12

(2)
出し方が曲がっている。
循環小数とは数字の並びに周期性がある無限小数。

bから考える。
b=1のとき、a/bはすべて整数になるのでない。
b=2は整数か、小数第1位が5の有限小数。
b=3のとき、÷3すると0.333…か0.666…となる1/3、2/3、4/3、5/3。
b=4は整数か有限小数。1÷4=0.25ゆえ小数第2位で終わる。
b=5は整数か小数題1位までの有限小数。
b=6のとき、1/6=1.666…で循環小数。
これ倍にした2/6、4/6、5/6も同様に循環小数。
計8通り。
確率は8/36=2/9


大問3(空間図形)

(1)

点B⊥面ADFCの距離は、BからACにひいた垂線の長さ。

(2)

四角形HDICは1組の対辺が等しく、かつ平行だから平行四辺形
これを底面としたとき、(1)のBGが四角錘B―HDICの高さにあたる。
△ABCで三平方→AC=AD=4√5cm

△ABCの面積を2通りで表すと、
4×8÷2=4√5×BG÷2
BG=4×8÷4√5=8/√5cm
四角錘B―HDICの体積は、9/2×4√5×8/√5÷3=48cm3

大問4(数量変化)

(1)

大輝が1周を走る時間は、(36-18)÷2=9分
1800mを9分で走る⇒18分間休憩⇒9分間走る

(2)

グラフを追記。大輝が休憩後、ひなたに追いつくの時間が答え。

赤線の三角形の相似比は4:1。
⑤=9分だから、①=9×①/⑤=9/5分=1分48秒
大輝の休憩が終わる9時27分の1分48秒後⇒
午前9時28分48秒

(3)
なんかイヤなんですけど(´゚д゚`)

京平は2人と反対の向きで走る。
グラフの上半分(1800~3600m)に京平を追記すると、
大輝とひなたとの交点のy座標の差が答えになる。

3人の速さを出しておく。
京平;1800÷12=分速150m
大輝;1800÷9=分速200m
ひなた;1800÷24=分速75m

京平が出発する29分後の京平と大輝の状態。
大輝は27分にA地点を出発しているので、200×2=400m進んでいる。
残りの1400mを両者は1分あたり150+200=350mずつ距離を縮めるから、
1400÷350=4分後に出会う。

29分後の京平とひなたの状態。
ひなたは24分にA地点を出発しているので、75×5=375m進んでいる。
残りは1425mで1分あたり150+75=225m縮むから、
1425÷225=19/3分後

京平が大輝とすれ違ってから、ひなたに会うまでの時間は19/3-4=7/3分
その間の移動距離は、150×7/3=350m


大問5(平面図形)

(1)

△AEF∽△ABCより、EF=7×6/9=14/3cm

(2)
ここで等角の情報を使う。

EF//BCの錯角。
△EBDと△FDCは底角が等しいから二等辺三角形
ED=EB=3cm
(1)よりEF=14/3cmなので、FD=FC=14/3-3=5/3cm
AE:EB=AF:FC=2:1
AF=5/3×2=10/3cm

(3)

わかりやすいように△DBCを等積変形で左に寄せ、△EBCにしておく。
ED:DF=3:5/3=

△CFDの面積を5とすると、△CDEは9。
AC:FC=より、△AEC=△FEC(14)×3=42
(*細かく区切ると上図のようになる)

AE:AB=より、△ABC=△AEC(42)×3/2=63
△CFD:△ABC=5:63

大問6(規則)

(1)

平方数が特徴なので、これに着目する。
左端は〇番目の平方数。
7番目の左端は、72=49

右端は〇番目の1個手前の平方数に+1した数
7番目の右端は、62+1=37
左端…37、右端…49

(2)
前問ができれば、ここも取りやすい。
n段目の左端はn2、右端は(n-1)2+1。
2+{(n-1)2+1}=1986
2n2-2n-1984=0
2-n-992=0
*30×30=900。1の位の2は1×2⇒31×32ではないかと予想する。
(n+31)(n-32)=0
n>0より、n=32


大問1
(6)グラフが上向きか下向きかをまず把握する。
最小値がすぐわかる。最大値は(a、9)でaの絶対値は3より大きい。
(7)見た目から外角定理と円周角。
(8)黒:白=3:37
何色の玉から何色の玉の個数を推し量るかを間違えない。
大問2
(2)ややトリッキーな出し方で焦る。分母のbは3の素因数を含む数。
6が厄介かと思われる。÷3した循環小数を半分にした÷6も循環小数。
大問3
(2)三角形を別の角度から2通りで表すと計算が楽。
大問4
(3)嫌な問題であった…。
京平のグラフさえわかれば(2)と仕組みは一緒だが、計算が大変面倒くさい。
ここまでする必要あったか??というのが率直な感想。
良い解法を見つけた方はお問い合わせか下のコメント欄から教えてください。
大問5
(2)等角には必ず印をしておこう。
ここの大問は前問をミスるとドミノ倒しで失点する。
(3)点Dを端っこに寄せて図をシンプルにさせる。
辺の比から面積比を求めていく。
大問6
最終問題のわりには難しくなかった。
例年、等差数列の和の公式が出たと思うが今年は違った。
平方数がポイント。右端は1個手前の平方数+1。
4(3)を蹴って最後まで問題を見通したい。
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コメント

  1. 京都府民 より:

    4.⑶ちょっとしんどい解き方をされていますね。1800×1/3=600 1800×19/36=950 950-600=350ですね。
    4.⑵ももう少し楽に解けますよ。1800m地点から追いつきポイントまでの時間の比が8:3だから,5×3/5=1.8

    • 京都府民 より:

      すみません訂正します。
      4.⑶1800×1/3=600  1800×19/36=950 950-600=350ですね。
      4.⑵ももう少し楽に解けますよ。1800m地点から追いつきポイントまでの時間の比が8:3だから,3×3/5=1.8 

      ⑶は作成者はグラフの交点を連立で解かせようとしたのでしょうか。図形的処理であっさり解けます。

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