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出題範囲の除外はなし。
大問1(小問集合)
(1)ア
5-(-7)
=5+7
=12
イ
-8÷4/3
=-6
ウ
x+3y-2(x-y)
=x+3y-2x+2y
=-x+5y
エ
(√2-1)2
=2-2√2+1
=3-2√2
(2)
x2+2x-35
=(x-5)(x+7)
(3)
x2+5x+1=0
解の公式を適用して、
x=(-5±√21)/2
(4)
体積比は相似比の3乗。
F:G=33:53=27:125
Gの体積は、81π×125/27=375πcm3
(5)
①OAの長さをとり、OとAから弧を描く。
交点はOAを1辺とする正三角形の頂点で60°が作れる。
②角の二等分線で30°を作成。
③OAの長さを二等分線に移す。交点がB。
(6)
円周角定理より、∠ADB=∠ACB
半円の弧に対する円周角で∠BDC=90°
△BCDの内角より、180-(90+34+20)=36°
(7)
値を昇順に並べかえる。
5個の中央値(メジアン)は3番目の値だから72。
中央値を74にするには、68・70・72のいずれかを74以上にする。
平均値となる73点との差を考える。
-5-3-1+1+5=-3
68・70・72のいずれかを+3すれば73点で均せる。
このうち、74以上になるのは72+3=75のみ。
①E、②75分
大問2(方程式)
(1)ア
A中学の人数をx、B中学の人数をyとする。
1つ目は人数の合計で等式。
x+y=45
2つ目は山の希望者の合計で等式。
20/100x+40/100y=14
もしくは、海の希望者でも良い。
80/100x+60/100y=31
①x+y、②20/100x+40/100y=14(80/100x+60/100y=31)
イ
先ほどの連立を解く。
x+y=45 …①
20/100x+40/100y=14
10倍して、2x+4y=140 …②
②-①×2をすると、2y=50
y=25
①に代入して、x=20
A中学校…20人、B中学校…25人
(2)ア
縦;3cm
横;3+2=5cm
面積は3×5=15cm2
イ
底辺をxとすると高さは3x。
x×3x÷2=6
x2=4
x>0だから、x=2
2cm
ウ
答案では求める過程も記述する。
x×3x×1/2=x(x+2)+6
x2-4x-12
=(x-6)(x+2)=0
x>0だから、x=6
6cm
大問3(確率・整数)
(1)ア
6×6=36通り
*重複はない。
イ
偶数⇒一の位が2・4・6になればいい。
一の位だけを考える。6個中3個。
3/6=1/2
ウ
3の倍数⇒位の和が3の倍数
12・21
15・51、24・42、33
36・63、45・54
66
以上、12通り。
12/36=1/3
エ
頭の中で表をイメージする。
斜め線がゾロ目で、位の数をひっくり返しても同数になる。
はじめの数が大きいのは、5+4+3+2+1=15通り
(もしくは、対称性から(全体-同数)÷2=(36-6)÷2=15通り)
15/36=5/12
(2)ア
いわゆるガウス記号。
ある値について、それを超えない最大の整数を求める。
*本物のガウス記号は[ ]←これです。
7<7.3<8
〈7.3〉=7
イ
〈n/4〉=5
5≦n/4<6 ←4倍
20≦n<24
21~23のどれか1つを挙げる。
ウ
6≦n/4<11
24≦n<44
最小値24、最大値43。
43-24+1=20個
大問4(関数)
(1)
y=ax2にA座標を代入。
2=22a
a=1/2
(2)
y=1/2x2にx=4を放り込む。
y=1/2×42=8
(3)
B(-6、18)⇒C(4、8)
右に10、下に10だから、傾きは-10/10=-1
C座標から左に4、上に4移動して、
切片は8+4=12
(4)
交点をDとする。DはBCの中点。
Dのx座標は、(-6+4)÷2=-1
これを前問で求めたy=-x+12に代入。
y=-(-1)+12=13
(-1、13)
(5)ア
Pのx座標は2。
これをy=-x+12に代入してP(2、10)
△PACの底辺PAは8、高さは2だから、
8×2÷2=8
イ
前問で△ABCの面積を2等分する直線を求めたので、
これを活用できないか考える。
Dを通るAPに平行な線分をひき、これとABとの交点がQとなる。
なぜなら、等積変形で△APDと△APQの面積が等しく、
△ACD=△APD+△APC=△APQ+△APC=四角形ACPQ
△ABCの半分である△ACDと四角形ACPQの面積が等しいから。
Qのx座標は-1。
x座標の差より、AQ:QB=3:5
Qのy座標は、2+(18-2)×3/8=8
Q(-1、8)
大問5(平面図形)
(1)
△ACEで三平方。
AE=√5cm
(2)
△AEC∽△BEDの証明。
仮定の直角と対頂角で2角相等→∽
(3)
小学生でも解ける。
底辺をBEとしたとき、高さはAC。
2×2÷2=2cm2
(4)ア
ポイントは、2角相等で△ABC∽△EBF
△ABCで三平方→AB=√13cm
EB:EF=AB:AC=√13:2
EF=2×2/√13=4√13/13cm
イ
△BEDは△ABCの外にあって求めにくい。
そこで(2)△AEC∽△BEDの面積比から考えてみる。
BE:AE=2:√5
面積比は相似比の2乗だから、△BED:△AEC=④:⑤
△AECと△ECFは底辺がECで共通する。
ということは、高さの比が面積比に値する。
△AECと△ECFの高さの比はAB:FB。
前問の△ABC∽△EBFで、EB:BF=AB:BC=√13:3
FB=2×3/√13=6/√13cm
AB:FB=√13:6/√13=13:6
△ECFの面積比は、⑤×6/13=〇30/13
したがって、△ECF(S1):△BED(S2)
=〇30/13:④
=30:52
=15:26
基本問題の失点をおさえたい。
大問1
(5)等辺はOA=OBである。
(6)ここまでは点を稼いでおきたい。
(7)73点を仮の平均におくと処理しやすい。
大問2
(2)図を描いてみよう。
大問3
(1)エ:表を描かず、イメージできるのが理想。
(2)類題経験者は有利。
大問4
(5)ア:ここまでは難しくない。
イ:前問から(4)の答えの真下がQとなる。
大問5
(4)ア:ここまではとりたい。
イ:求めづらい△BEDに配慮する。
△BED⇒△AEC、ここからどうやって△ECFにつなげるか。
底辺共通から面積比=高さの比になる。
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