2022年度 埼玉県公立高校入試過去問【数学】解説

平均48.0点(前年比;-14.2点)
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大問1(小問集合)

(1)
7x-9x
=-2x

(2)
5×(-3)-(-2)
=-15+2
=-13

(3)
12x2y÷3x×2y
=8xy2

(4)
7x-2=x+1
6x=3
x=1/2

(5)
12/√6-3√6
=2√6-3√6
=-√

(6)
2-x-20
=(x+4)(x-5)

(7)
4x-3y=10 …①
3x+2y=-1 …②
サボは①×2+②×3をしました。
すると、17x=17
x=1
②に代入して、3+2y=-1
y=-2
x=1、y=-2

(8)
2x2-3x-3=0
解の公式を適用して、x=(3±√33)/4

(9)

∠xに対する中心角は、360-140=220°
x=220÷2=110°

(10)

y=ax+bは右下だからa<0。
切片bはx軸より上にあるのでb>0。
反比例は比例定数が正だと第1象限と第3象限に、
負だと第2象限と第4象限に双曲線が描かれる。c<0

(11)
側面積の中心角は〔×半径/母線〕で対処。
360×3/8=135°

(12

↑これが自然数になるようなnは【15×6の約数の平方数】
6の約数は〔1・2・3・6〕なので、nは4通り。
*具体的な数値でいえば、n=15×1×1=15、15×2×2=60、
15×3×3=135、15×6×6=540の4つ。

(13)

△ABE∽△DCEより、AE:ED=②:③

△ABD∽△EFDで、EF=2×③/⑤=6/5cm

@余談@

受験業界では”和分の積”とよばれる形で、EF=(2×3)/(2+3)=6/5
AB=3、CD=7であれば、EF=(3×7)/(3+7)=21/10

(14)
高校から降りてきた箱ひげ図。

アイ:四分位範囲は、上位グループの中央値である第3四分位数(Q3)から、
下位グループの中央値である第1四分位数(Q1)をひいた値。
極端な外れ値を箱の外に出すので、その影響を受けにくい。〇
ウ:平均は×印などで示す。箱の中央にあるとは限らない。×
エ:第2四分位数は中央値です。〇

(15)
印アリが③、印ナシが⑳、全体が㉓。
22匹が③に相当するので、総数は22×㉓/③=506/3=168.6…≒169匹

(16)

さすが公式解答、手際が良い(;`ω´)
体積比は相似比の3乗
SとMの体積比と価格の比から、SよりMが割安と確定。
M:Lは半径の相似比4:5→底面の面積比16:25→体積比16:50
価格の比に照らしてMよりLが割安だから、最も割安なのはLサイズ。

連比で体積比を統一させることもできる。
1円あたりの体積比(27÷160…64÷320…200÷960)は大変なので、
値段の比がS:M:L=1:2:6と整っている点に気がつきたい。


大問2(作図&関数)

(1)

1:√2とくれば、直角二等辺三角形の辺の比。
ACを斜辺とする直角二等辺を作図するには、
Oを通るABの垂線をひけばいい。弧ABとの交点がC。

(2)

AからDまでの動きと、BからCまでの動きは同じ
Cのx座標は3+3=6
y座標はDと同じ8。C(6、8)
これをy=ax2に代入すると、
8=36a
a=2/9

y=2/9x2にx=3を代入。B(3、2)
平行四辺形の底辺が6。高さは8-2=6だから6×6=36cm2
a=2/9、36cm2

大問3(確率)

(1)
右に1、上に2だから傾きは2。
y軸方向に直線を延長すると切片は-3。
y=2x-3

(2)

(2、1)(3、3)(4、5)だと直線ABとかぶり、三角形ができない→3個
全体は6×6=36通りだから、三角形ができるのは36-3=33通り
ア…3、イ…33

(3)
やや難レベルのうえに説明要求付き(´Д`; )

こういう場合は、あきらかに4cm2とわかる三角形から考える。
(4、1)の点に注目する。

これを通る傾き2の平行線をひく。
このライン上にPがくると、等積変形で△ABPの面積はちょうど4cm2だから、
このラインを含む右側の点(x、y≦6)すべてが該当する。

反対側で同じことをする。(2、5)に注目。

傾き2のラインを含む左側すべての点が該当。
4cm2以上となるのは15通りで、全体が33通りだから、
確率は15/33=5/11


大問4(平面図形)

(1)
PA=PBの証明。
円外の点Pからの接線の長さが等しいことを証明する。

△APOと△BPOに注目する。
POは共通辺、半径よりOA=OB
半径と接線は垂直に交わるので、∠PAO=∠PBO=90°
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形ゆえ△APO≡△BPO
対応する辺は等しいから、PA=PB

(2)

半径を作図し、PとRとQを結ぶ。
RO=RQ+QO=3+5=8cm

円Rと直線ℓの接点をDとする。
△PRD∽△POAで、相似比はRD:OA=3:5
PR=8×3/2=12cm

PD:DA=③:②
点Cをどうするか。。

内接円の問題で見たことがあると思う。
ペアとペアの三角形は(1)の証明と同様の理由で合同。
DC=QC=AC
DC=②÷2=①

△PRDで三平方→PD=3√15cm
PC=3√15×④/③=4√15cm


大問1
ここだけで配点が65点もある。
(1)~(9)死守。
(10)8択もあるが、基本なので取りこぼしたくない。
(12)差が出る。√540をa√bの形にする。根号の外にある6の約数の個数になる。
(13)基本の相似。視点をうまく切り替える。
(14)今後も箱ひげ図や四分位数は狙われる。
(16)やや難。まず、体積比を正確に算出する。
価格がきれいな整数比になる点に気づき、体積比と価格の比を比べる。
体積比÷値段で比べようとすると、処理が面倒で途方に暮れる。
大問2
(2)グラフ上にあるA・B・Cのうち、どの座標がわかるか。
y座標が判明しているCのx座標を他の点から求める。
大問3
(2)リード文にヒントがある。イは余事象。
(3)あからさまな形から入る。
1つの形がわかったら、それと他の形との共通点は何か。
4cm2が維持されるので等積変形→平行なラインを発想。
解答用紙のグラフを活用する。表現力も問われるので大変だった。
大問4
(1)教科書レベルの証明。
(2)円の中心RとOは直線ℓとmから等距離にあるので、
2直線がつくる角の二等分上にある→P・R・Oは一直線上にある
また、直線RO上に接点Qがある。
Cの処理は内接円。(1)の証明と同じ原理である。
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