2019年度 三重県公立高校入試問題後期【数学】解説

平均26.5点(50点満点)
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大問1(計算)

(1)
(-20)÷4
=-5

(2)
x/2-x/3
=(3x-2x)/6
=1/6x

(3)
3(a+2b)-(2a-b)
=3a+6b-2a+b
=a+7b

(4)
(√7-2√5)(√7+2√5) ←和と差の平方の形になる!
=√72-(2√5)2
=7-20=-13

(5)
x2-x-30
=(x-6)(x+5)

(6)
2x2-3x-1=0
因数分解ができないので、解の公式を適用。
x=(3±√17)/4

(7)
取り出す白玉をx個とすると、取り出す赤玉は2x個。
45-2x:27-x=7:5
7(27-x)=5(45-2x)
12個

大問2(小問集合)

(1)①
Bを仮の平均とする。
(+10+0+2-3+4-1)÷6=+2
Bは読書目標の6冊なので、6人の平均値は6+2=8冊


6人の中央値(メジアン)→3番目と4番目の平均。
3番目…B6冊
4番目…C8冊
(6+8)÷2=7冊

(2)
連立方程式。誘導の空欄を埋める。
定価10%引き→定価の90%(9割)
定価20%引き→定価の80%(8割)
これさえ踏まえれば立式ができるはず。
①…x+y
②90/100(0.9)
x×2+80/100(0.8)y×3
③…90、④…55

(3)①
【少なくとも1枚裏=全体-全部表】
全体…24=16通り
全部表…1通り
1-1/16=15/16


表が510円以上ということは、500円玉は絶対に表
残る10円、50円、100円で10円以上となれば良い。
すなわち、3枚のうち、少なくとも1枚が表になれば良い
【少なくとも1枚表=全体-全部裏】
3-1=7通り
7/16


大問3(関数)

(1)
y=-x+6に代入。
A(3、3)
y=ax2に代入。
3=9a
a=1/3

同様に、y=-x+6に代入。
p=-(-6)+6=12

(2)
x=0のとき、最小値y=0
x=4のとき、最大値y=16/3
0≦y≦16/3

(3)
EF=-x+6-1/3x2
FG=1/3x2

EF=2FG
-x+6-1/3x2=1/3x2×2

-3x+18ーx2=2x2
3x2+3x-18
=(x+3)(x-2)=0
x<0より、x=-3

(4)
Cのx座標は正。
△ABCと△OABは辺ABが共通している。
Oはすでにx軸上にいるので、等積変形で動かせない。
そこで、△ABC以外で△OABと面積が等しくなる三角形を考える

OAの傾きは1、BAの傾きは-1。
ここからOAとBAは垂直に交わる。(直線が垂直に交わると傾きの積は-1になる

OAを延長し、OAと同じ距離にある点をDとする。
D(6、6)
△OABと△DABは合同で面積が等しい。
ここで、Dを等積変形でx軸方向に移動させる
ABの傾きは-1なので、CDの傾きも-1。
D(6、6)だから、
6=6×(-1)+b
b=12
CD:y=-x+12
y=0のとき、x=12
C(12、0)

大問4(作図・立体図形)

(1)
四角形の内部に菱形を作図する。
菱形は4辺の長さが等しいので、PやQに目が行きがちになるが、
先にRを作っておくことがポイント!

菱形の対角線BRは∠PBQを二等分する。
PはBA上のどこか、QはBC上のどこかにあるので、
①∠ABCの二等分線を作図する
Rの位置が決まったら、菱形の対角線は各々の中点で垂直に交わるので、
②BRの垂直二等分線を描く
この線分とABとの交点がP、BCとの交点がQとなる。

(2)①
円錐の高さは三平方→√(62-32)=3√3cm
3×3×π×3√3×1/3=9√3πcm3


側面の扇形の中心角…360×半径/母線
端的にいえば、側面の扇形の面積=円の面積×半径/母線
6×6×π×3/6=18πcm2
*求めるのは側面積なので、底面積は不要
半径/母線=3/6なので、側面の扇形は半円となる。


ABは底面の直径。
孤ABでいえば、底面の円周の半分にあたる。
底面の円周は側面の扇形(半円)の孤の長さに等しいので、
孤ABはその半円の半分にあたる。

ひもの長さは直線AB。
1:1:√2の直角三角形から、ひもの長さは6√2cm。


大問5(平面図形)

(1)
△DBC∽△DEGの証明。

誘導があるのでありがたし。
対頂角+①角の二等分線②錯角③孤BFに対する円周角。
以上の流れから2角が等しい点を指摘する。
ア…∠EDG、イ…∠DBA、ウ…2組の角
*角度は対応する順に書けるようにしておこう。

(2)
△AEG≡△AFHの証明。
誘導がなく、手順が多い。

∠EAGから出発して、①孤CEに対する円周角②角の二等分線③錯角
これで1つの角が共通する。

前問の相似から、∠DBC=∠DEG
錯角が等しく、BC//FE
これを利用して、△AHG∽△ABC(2角)となり、
AG:AC=AH:AB
△ABCは二等辺なので、AB=ACと組み合わせてAG=AH
△AHGは二等辺で底角が等しい。∠AGH=∠AHG
反対側の角度も等しくなるので、∠AGE=∠AHF
一辺両端角が等しく合同となる。

@別解@

は先ほど指摘した通り。
ここからも等しい角度であることを証明する。
まず、弧AEに対する円周角から、∠EBA=∠EFA
弧BFに対する円周角より、∠FEB=∠FCB
△ABC(二等辺)の底角に注目し、=∠ACF+だから、
∠ACF=
弧AFに対する円周角より、∠ACF=∠AEF

△AEFは二等辺なので、AE=AF
もしくは、∠ABE=∠ACFと円周角が等しいことから、弦が等しいとしても良い。
こうして一辺両端角が導ける。

(3)①
しょっぱなから迷う(;`ω´)ゴクリ
ABとBCしか長さが判明していない。

Aを通り、BCに平行な線をひき、BEとの交点をJとおく。
AJ//BCより、錯角で∠JBC=∠BJA
△ABJは二等辺三角形となり、AJ=3cm
△ADJ∽△CDBより、AD:DC=AJ:CB=3:2

AC=3cmなので、
DC=3×2/5=6/5cm

@別解@
この問題を見たときに、真っ先に思いついたのは角の二等分線の定理でした。

角BACの二等分線があったとき、a:b=c:dが成り立つ。
高校数学で習いますが、中学の相似で証明できるので覚えておいた方が良いかも。

Cを通る、BDに平行な線をひいて、ABの延長との交点をIとおく。
平行線から等しい錯角と同位角を調べると、△BICが二等辺
BI=BC=2cm
△ABD∽△AICから、AB:BI=AD:DC=3:2
DC=3×2/5=6/5cm
*本問は角の二等分線の定理を使えるかで、ほぼ決着がつきそうな感じがします。
ここを落とすと②③も自動的に落とすので、問題の構造が意地悪な気もする…。


等角が多い図形なので、
円周角や錯角、合同で示せた等しい角に印をつけておく。
すると、△AGEは二等辺三角形となる。

(1)で証明した△DBC∽△DEGを用いる。
GE:GD=CB:CD=2:6/5=⑤:③
AG=GEから、AG=⑤
AD=AC-DC=3-6/5=9/5cm
GD=9/5×3/8=27/40cm


CD:DG=6/5:27/40=16:9
△DBC∽△DEGで、面積比は辺の2乗だから、
△DBC:△DEG=162:92=256:81

△AFHは(2)から△AEGと合同。
前問より、AG:GD=5:3なので、
△AEG=81×5/3=135
したがって、△AFH:△DBC=135:256

ラスト3題はなかなかのエグ味:;(∩´_`∩);:
細やかな認定をサクサク行えるのが理想だが、
ヘビーなラスボスを倒すには、時間にゆとりがないと厳しい。
角の二等分線の定理はもはや必須事項か(σ’д’)σ

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