2023年度 鹿児島県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均47.0点(前年比;+8.0点)

0~10点…1.5%、11~20点…8.0%、21~30点…11.4%、31~40点…15.5%
41~50点…17.9%、51~60点…19.2%、61~70点…16.8%、71~80点…8.3%、81~90点…1.4%
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)―71.0%

(1)① 97.5%
63÷9-2
=7-2
=5

② 92.1%
(1/2-1/5)×1/3
=3/10×1/3
=1/1
0

③ 76.1%
(x+y)2-x(x+2y)
=x2+2xy+y2-x2-2xy
=y2

④ 58.2%
絶対値…数直線上で原点0からの距離。
7より小さいだから、7は含まない
0、±1、±2、±3、±4、±5、±6の13個。

⑤ 62.1%
√aの形にして比較する。
3√2=√18
2√3=√12
4=√16
3√2>4>2√3

(2) 84.9%
3x+y=8 …①
x-2y=5 …②
①×2+②
7x=21
x=3
①に代入、3×3+y=8
y=-1
x=3、y=-1

(3) 54.2%
(10、10)(10、50)(10、100)(50、100)の4通り。

(4) 75.4%
9÷11=0.818181…
小数第20位は偶数番目だから1。

(5) 38.6%
それぞれの中学校の200~220cmの人数を求める。
A中学校…20人×35/100=7人
B中学校…25人×44/100=11人
生徒の合計は45人だから、相対度数は18/45=2/5=0.40

大問2(小問集合2)―50.3%

(1)① 79.7%
N角形の内角の和は、180(N-2)°
180×(5-2)=
540°

② 21.8%!
ア:4つの角が等しい→長方形
イ:4つの辺が等しい→菱形
ウ:2組の対辺がそれぞれ平行→平行四辺形
エ:対角線が垂直に交わる→菱形の”性質

@図形の性質@
●平行四辺形
【定義】
2組の対辺がそれぞれ平行である四角形。
【性質】
①2組の対辺は等しい。
②2組の対角も等しい。
③対角線はおのおのの中点で交わる。

以下の図形は、平行四辺形の性質を兼ね備える
●長方形
【定義】4つの角が等しい四角形。
【性質】対角線の長さが等しい。
●菱形
【定義】4つの辺が等しい四角形。
【性質】対角線が垂直に交わる。
●正方形
【定義】4つの角と4つの辺が等しい四角形。
【性質】対角線の長さが等しく、垂直に交わる。

ベン図で関係性をあらわすと、このようになる。
長方形や菱形は特別な平行四辺形、正方形は特別な長方形・菱形。

③ 67.2%
いろいろな出し方がある。以下は一例。

青線の三角形は正五角形の1辺を等辺とする二等辺三角形。
底角をとする。

左側にも合同の二等辺がある。
△ABCで外角定理→x=●●
二等辺の内角より、x(●●)=180-108=72°

(2) 49.7%
BE=CE→EはBとCから等距離にある→BCの垂直二等分線上。
問題は、『△BCEと長方形ABCDの面積は等しい』をどう扱うか。

仮にEがAD上にあった場合、上図のように分割すると、
△EBCの面積は長方形ABCDの半分である。

高さを2倍すれば面積が2倍になり、長方形ABCDと等積になる
辺BCの反対側にも等積の三角形を作れるが、AE<BEの条件に反してしまう。

①BCの垂直二等分線。
②BAの長さをとり、辺AD上の交点から上に向かって長さを移す。
交点がE。

(3) 37.8%
答案では方程式とともに計算過程も書く。
底面積はxcm2の正方形。側面積の1面は3xcm2の長方形。
2×2+3x×4=80
2x2+12x-80=0 ←÷2
2+6x-40
=(x+10)(x-4)=0
x>0より、x=4
4cm


大問3(データの活用)―63.0%

(1) 67.4%
数学では特殊な問題。
1950年から55年は増加して最大になる。この時点でア・イが外れる。
その後は減少が多いが、80年と85年は増加に転じている。

(2)① 62.6%
鹿児島は13~14%の階級に含まれる。
階級値は13と14の平均で13.5%

② 29.1%
最小値は9~10%、最大値は16~17%でいずれも同じ。
47都道府県の第2四分位数(中央値)は24番目の値→12~13%の階級
第1四分位数は下位23個の真ん中、下から12番目→11~12%の階級
第3四分位数は上位23個の真ん中、上から12番目→12~13%の階級
第1四分位数と第3四分位数が合っているのはイしかない。
第2四分位数の12%は12%以上13%未満の階級に含まれる。

(3)①96.5%、②85.9%、③51.3%、④46.9%、⑤64.2%
①範囲=最大値-最小値。図2で最も範囲が小さいのは2000年。×
②図3で1980年の第3四分位数は15%を超えている。〇
③図2の2010年と2020年はともに第3四分位数が15%弱。
上から11番目の値は同程度だが、データの詳細はわからない。△
④図3の2000年は第1四分位数が25%超⇒上から33番目が25%超。〇
⑤平均値を×印などで示す箱ひげ図もあるが、図2にはないので不明。△
①…イ、②…ア、③…ウ、④…ア、⑤…ウ

大問4(関数)―38.7%

(1) 83.0%
y=1/4x2にx=4を代入して、y=4

(2) 33.2%!

Bのx座標を小さくする⇒Bを左側(B’)に移す。
ア:ABの傾きは緩やかで小さくなる。〇
イ:切片は大きくなる。×
ウ:Cは左側(C’)に移動する⇒Cのx座標は小さくなる。〇
エ:辺OAは固定。C’はCよりOAから離れるので、△OACの面積は大きくなる。×
ア・ウ

(3)① 41.9%
答案では求め方や計算過程も記述する。
y=1/4x2にx=-2を代入すると、Cのy座標は1。
C(-2、1)→A(4、4)
右に6、上に3だから、傾きは3/6=1/2
Cから左に2、下に1移動してx軸に着く。
Bのx座標は-2-2=-4
B(-4、0)

記述の仕方は公式解答を参照。
もう少し簡略して書いても大丈夫だと思う。

② 5.6%!!
ここで確率の問題が登場した。

先にa-2とb-1の範囲を確定しておく。
1≦a、b≦6
-1≦aー2≦40≦b-1≦5
AOの傾きは1.ABの傾きは1/2。
x座標が-1~4、y座標が0~5である、辺上の格子点を調べると上図の8個が該当する。
出目は全部で6×6=36通りだから、確率は8/36=2/9


大問5(平面図形)―22.5%

(1) 70.2%
△ABCで三平方→AC=3√5cm

(2) 18.2%!
△ACFが二等辺三角形である証明。

折り返し+AB//DCの錯角から底角が等しいので、△ACFは二等辺三角形。

(3) 10.1%!

DF=xcmとすると、FC=6-xcm
△ACFは二等辺だから、AF=6-xcm
△AFDで三平方
(6-x)2=x2+9
36-12x+x2=x2+9
x=9/4
DF=9/4cm

(4) 1.3%!!

左右に同じように折り返すので、△AHJと△DFJは対称性から合同
AH=DF=9/4cm
四角形AHFDは長方形で対角線は各々の中点で交わる→JはHDの中点
△AHDの半分が△AHJにあたる。HI:IJの比が知りたい。

比の合成で良いのですが…少し手法を変えてみます。
FC=6-9/4=15/4cm
Jから真下に線をひき、ACとの交点をKとする。
JとKはそれぞれAFとACの中点で、△AKJ∽△ACFの相似比は1:2
JK=15/4÷2=15/8cm

 △AHI∽△KJIで、HI:JI=9/4:15/8=
方針:【△AHD⇒△AHJ⇒△AIJ】
△AIJの面積は、3×9/4÷2÷2×/=135/176cm2

@タレコミ@

2015年の埼玉で類題があったそうです( ´ノω`)コッソリ
このブログでも取り上げたのですが、すっかり忘れてました。。


昨年度は平均が4割を下回ったからか、今年は対処しやすい設問が増えた。
大問1

配点が27点もある。
(1)④整数=負の整数、0、正の整数。
(4)書き出しが早い。
(5)全体の平均を出すやり方と同じ。
相対度数から200~220cmの和を求め、生徒の和45人を割る。
大問2
(1)②定義と性質を混同しないように!
③有名な図形なので、どこかで触れておきたい。
(2)底辺と高さが同じ場合、三角形は長方形の半分。
三角形の高さを2倍すれば等積。
大問3
(1)一瞬、社会科の問題かと。
(2)②各階級は〇以上〇未満。Q1とQ3から判定するといい。
(3)完全解答ではない。落ち着いて取り組もう。
大問4
(2)実際に直線を書いてみる。
(3)①他県でもよくある形式だが、記述だった。
②差がつきやすい。△OABの辺上だけで、内部の格子点は考えなくていい。
先にa-2とb-1の範囲を絞ると見つけやすいと思う。
大問5
(3)まではとりたい。
(4)もちろん、HD上で比の合成でもOK。
すると、HI:IJ:JD=6:5:11が得られる。
△AHDを5/22倍すればいい。
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