2022年度 埼玉県公立高校入試・学校選択過去問【数学】解説

平均42.6点(前年比;-13.4点)
問題はコチラ→PDFファイル
2022年度・埼玉数学(共通問題)の解説はコチラ

大問1(小問集合)

(1)
6xy2÷(-3/5xy)÷(-2x)3
=6xy2÷(-3/5xy)÷(-8x3
=5y/4x3

(2)
√9<√11<√16だから、整数部分a=3、小数部分b=√11-3
2-b2-6b
=a2
-b(b+6) ←ここで代入。
=32-(√11-3)(√11+3)
=9-11+9=7

(3)
2(x+3)2-3(x+3)-3 ←x+3=Xとおくと…
=2X2-3X-3=0
因数分解ができない(´Д`||)
ここで解の公式を適用すると、、
X=(3±√33)/4 ←Xをx+3に戻してみる
x+3=(3±√33)/4
x=(-9±√33)/4

(4)

↑これが自然数になるようなnは【15×6の約数の平方数】。
6の約数は〔1・2・3・6〕なので、nは4通り。
*具体的な数値でいえば、n=15×1×1=15、15×2×2=60、
15×3×3=135、15×6×6=540の4つ。

(5)

△ABE∽△DCEより、AE:ED=②:③

△ABD∽△EFDで、EF=2×③/⑤=6/5cm

@余談@

受験業界では”和分の積”とよばれる形で、EF=(2×3)/(2+3)=6/5
AB=3、CD=7であれば、EF=(3×7)/(3+7)=21/10

(6)
高校から降りてきた箱ひげ図。

アイ:四分位範囲は、上位グループの中央値である第3四分位数(Q3)から、
下位グループの中央値である第1四分位数(Q1)をひいた値。
極端な外れ値を箱の外に出すので、その影響を受けにくい。〇
ウ:平均は×印などで示す。箱の中央にあるとは限らない。×
エ:第2四分位数は中央値です。〇

(7)
印アリが③、印ナシが⑳、全体が㉓。
22匹が③に相当するので、総数は22×㉓/③=506/3=168.6…≒169匹

(8)
歩いた時間をx分とすると、走った時間は24-x分。
距離で等式を立てる。
50x+90(24-x)=1500
40x=660
x=16.5
16.5分=16分30秒
走り始めた時刻は、午後1時16分30秒。

(9)
なかなか興味深い問題です(*’ω’*)

下に凸の放物線だからa>0
第2象限・第4象限に描かれる双曲線はb<0
傾きが右下で、切片はx軸より上にある→c<0、d>0
a・dが正で、b、cが負である

手がかりになるのはPの座標。
3つのグラフの交点なので3通りで表せる。
(-1、a)(-1、-b)(-1、-c+d)
y座標は等しいから、a=-b=-c+d
●aとdの比較

注意点は、c<0なので-cは正の数である
正のaは、正のdに正の-cを足した数だからa<d。

●bとcの比較

同様に、-bも正の数
正の-bは、正の-cに正のdを足した数だから-b>-c。
求めたいのはbとcの大小関係である。
数直線で考えると、-bの方が-cより原点0から遠くにあるので、
マイナスをとって負に置き換えるとb<cになる。
b<c<d<a

@余談@
-b>-cにマイナスをかけるとb<c。
不等号の向きが逆になる。高校の一次不等式で習います。

(10)

さすが公式解答、手際が良い(;`ω´)
体積比は相似比の3乗
SとMの体積比と価格の比から、SよりMが割安と確定。
M:Lは半径の相似比4:5→底面の面積比16:25→体積比16:50
価格の比に照らしてMよりLが割安だから、最も割安なのはLサイズ。

連比で体積比を統一させることもできる。
1円あたりの体積比(27÷160…64÷320…200÷960)は大変なので、
値段の比がS:M:L=1:2:6と整っている点に気がつきたい。


大問2(作図&関数)

(1)
AC:AB=1:√2
1や√2とくれば直角二等辺三角形。

ABを斜辺とする直角二等辺を想像する。
等辺の長さをAB上に移せばいい。
①ABの垂直二等分線。
②ABの中点Oから半径AOをとって半円を描く。
 ①との交点をDとすると△ABDは直角二等辺。
③ADをAB上に移してCをとる。

(2)

四角形で囲いたくなる気分…。
DはCとy座標が等しい→DC//x軸//AB
AE=CEと錯角と垂直で、1辺両端角が等しく△ABE≡△CDE
対応する辺からAB=DC
また、AB//DCだから1組の対辺の長さが等しくかつ平行→四角形ABCDは平行四辺形。
さらに、対角線が各々の中点で垂直に交わる→四角形ABCDは菱形
DC=AB=6、Cのx座標は6。
B(3、9a)C(6、36a)
BC=6を斜辺とする直角三角形BCFに着目する。
BF=3、CF=36a-9a=27a
三平方より、CF=√(62-32)=3√3=27a
a=√3/9

大問3(確率)

(1)

Kが「円の性質を利用する」と言うので、ABを直径とする円を描いてみる。
直径に対する円周角は90°で、A・Bをのぞく格子点は6個ある。
確率は6/36=
1/6

(2)

点PがAB上にあると三角形ができない
右に1、上に2だから傾きは2。
y軸方向に直線を延長すると切片は-3。
AB;y=2x-3

(2、1)(3、3)(4、5)の3個がバツ。
全体は6×6=36通りだから、三角形ができるのは36-3=33通り
ア…y=2x-3、イ…33

(3)
答案では説明も記述する。

こういう場合は、あきらかに4cm2とわかる三角形から考える。
(4、1)の点に注目する。

これを通る傾き2の平行線をひく。
このライン上にPがくると、等積変形で△ABPの面積はちょうど4cm2だから、
このラインを含む右側の点(x、y≦6)すべてが該当する。

反対側で同じことをする。(2、5)に注目。

傾き2のラインを含む左側すべての点が該当。
4cm2以上となるのは15通りで、全体が33通りだから、
確率は15/33=5/11


大問4(平面図形)

(1)
PA=PBの証明。
円外の点Pからの接線の長さが等しいことを証明する。

△APOと△BPOに注目する。
POは共通辺、半径よりOA=OB
半径と接線は垂直に交わるので、∠PAO=∠PBO=90°
斜辺と他の1辺が等しい直角三角形ゆえ△APO≡△BPO
対応する辺は等しいから、PA=PB

(2)

半径を作図し、PとRとQを結ぶ。
RO=RQ+QO=3+5=8cm

円Rと直線ℓの接点をDとする。
△PRD∽△POAで、相似比はRD:OA=3:5
PR=8×3/2=12cm

PD:DA=③:②
点Cをどうするか。。

内接円の問題で見たことがあると思う。
ペアとペアの三角形は(1)の証明と同様の理由で合同。
DC=QC=AC
DC=②÷2=①

△PRDで三平方→PD=3√15cm
PC=3√15×④/③=4√15cm

@余談@

本問と全然関係ないんですけど、中学レベルの数学で解ける慶應大学の問題です。
ぜひチャレンジしてみてください。
答えは下の『』内をドラッグしてください。
円Bの半径…『4+2√5
円Hの半径…『18+8√5


大問5(空間図形)

(1)
球の体積は4/3πr3
立体Vは球の8分の1なので、4/3πr3×1/8=
π/6r3cm3

(2)
答案では説明も記述する。

四角錘の高さはAO=rcm
あとは底面にあたる四角形OBDCの面積を出せばいい。

ODに補助線。
Dは弧BCの中点→∠DOB=45°
Dから垂線をおろし、足をHとする。
△ODHの内角は45°―45°―90°だから直角二等辺三角形
辺の比は1:1:√2なので、DH=r×1/√2=√2/2rcm
△BODの2倍が四角形OBDC。
四角錘の体積は、r×√2/2r÷2×2×r÷3=√2/6r3cm3

(3)
これは諦めるしかない(ノ∀`)

△OCEと△AFGは平行な面ではない
手がかりは∠COE=30°と弧を1:2に内分するG・Fしかないという…。

OA・EG・CFを延長、交点をHとする。
右図は△OHC側から見た図でAFは傾いているが、
三角錐H―OCEとの体積比から立体AFG―OCEの算出を試みる

OFに補助線。
弧AF:弧FC=1:2より、∠AOF=30°、∠FOC=60°
△OFCは1辺rの正三角形で、△OHFは2つの底角を30°とする二等辺三角形。
CF=FH=r
さらに、△OHCは内角が30°―60°―90°で辺の比は1:2:√3だから、OH=√3r
AH=√3r-r=(√3-1)r

あとは隣辺比のような形で体積比を求める
三角錐H―OCE…HO×HC×HE=√3r×2r×2r=4√3r3
三角錐H―AFG…HA×HF×HG=(√3-1)r×r×r=(√3-1)r3
立体AFG―OCE…4√3r3-(√3-1)r3=(1+3√3)r3
rだらけで目まいがする⊂(^ω^)⊃


うえのように△OEC内で30°―60°―90°の直角三角形をつくると、底辺がr、高さが1/2r。
三角錐H―OCEの体積は、r×1/2r÷2×√3r÷3=√3/12r3
したがって、求積すべき立体の体積は、√3/12r3×{(1+3√3)r3}/4√3r3
=(1+3√3)/48r3

・・たぶん、これは試験時間内には終わらないことを想定して、
お家で楽しんでくださいっていう埼玉教委会からのお土産なんだと思う(・3
・)

@別解@

立体を錘に分割して、(2)のように断面積×高さ÷3で求めることもできる。
この場合、面AEFの前後で分ける
四角形OAFCの面積…r×1/2r÷2+r×√3/2r÷2=(1+√3)/4r2
四角錘E―OAFCの体積…(1+√3)/4r2×1/2r÷3=(1+√3)/24r3

△AGEは、四角形OAGEから直角二等辺OAEを引けばいい。
△AGEの面積
…(1+√3)/4r2-r×r÷2=(√3-1)/4r2
高さは垂線をひき、OEの半分がHGとわかれば、
これを立体に引きなおして、1/2r÷2=1/4r
三角錐F―AGEの体積…(√3-1)/4r2×1/4r÷3=(√3-1)/48r3
求積すべき立体の体積は、(1+√3)/24r3+(√3-1)/48r3=(1+3√3)/48r3


大問1
配点43点。後半を考えると、計算は迅速かつ正確にあてたい。
(2)a2-b2-6b=a2-{(b+3)2-9}でもいける。
(3)Xの形で解の公式を使うなんて…。
(4)根号の外に出した6がポイント。
(9)Pのy座標に注目できるが、正負の繊細な判定を要して苦労する。
(10)価格の比がきれいな整数比になる点に気づきたい。
要領よく記述しないと大変。。(9)(10)で時間をとると、後半戦が危うくなる。
大問2
(2)地味に時間がかかる。2直線を対角線となる四角形がどういう性質をもつか。
菱形⇒座標を文字で示す⇒三平方で等式
大問3
(3)ここも立ち止まりすぎると時間オーバーの危機が迫る。
あからさまな形から入る。1つの形がわかったら、それと他の形との共通点は何か。
4cm2が維持されるので等積変形→平行なラインを発想。
解答用紙のグラフを活用する。表現力も問われるので大変だった。
大問4
(2)円の中心RとOは直線ℓとmから等距離にあるので、
2直線がつくる角の二等分上にある→P・R・Oは一直線上にある。
半径と接点の作図。三角形の相似。Cは前問の接線の長さを利用する。
大問5
(2)までとれたらGREAT。
記述問題は部分点狙いで何か書きたい。
(3)別にお土産を用意しなくてもよかったと思うのですが、
高度な思考力が問われ、処理も複雑だし目がrだらけで気持ち悪くなってくる(´д`)
よほどの猛者でない限り、実質94点満点の試験だと諦めて見直しに費やした方が賢明。
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