2022年度 神奈川県公立高校入試・追検査過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(ア)
-4-
(-9)
=-4+9
=5 【3】

(イ)
1/4-3/7
=-5/28 【2】

(ウ)
72a2b÷4a×3b
=54ab2 【4】

(エ)
(4x-3y)/5-(x-y)/2
={2(4x-3y)-5(x-y)}/10
=(8x-6y-5x+5y)/10
=(3x-y)/10 【2】

(オ)
(1-√5)(1+√5)-2(3-√5)
=1-5
-6+2√5
=-10+2√5 【1】

大問2(小問集合)

(ア)
(x-7)2+3(x-7)-28 ←x-7=Xとおくと…
=X2+3X-28
=(X+7)(X-4) ←ここでXをx-7に戻す
=x(x-11) 
【3】

(イ)
3x2+2x-2=0
解の公式。xの係数が偶数なのでb=2b’が使える。
x=(-1±√7)/3 【1】

(ウ)
x=-1のとき、y=a
x=-3のとき、y=9a
変化の割合…(yの増加量)÷(xの増加量)
=(a-9a)/{-1-(-3)}=-8a/2=-4a=3
a=-3/4 
【2】

@別解@
y=ax2において、xの値がpからqに増加するときの変化の割合はa(p+q)
(-3-1)a=-4a=3
a=-3/4

(エ)
加える量をxmLとすると、
紅茶:ミルク=360+x:200+x=5:3
内項と外項の積で、5(200+x)=3(360+x)
2x=80
x=40
40mL 【3】

@別解@
算数の世界では、以下のように解きます。

加えた量を左側に寄せた線分図を描きます。

差の②=160mLだから、ミルクは160×③/②=240mL
加えた量は、240-200=40mL

(オ)

3nは55未満でなくてはならない
整数となる⇒根号を外すには、根号の中身が平方数になる。
55未満の平方数は【1・4・9・16・25・36・49
】。

3nは3の倍数、55は3の倍数+1。
3の倍数+1から3の倍数をひいたら、差は3の倍数+1になる
先の平方数のなかで該当するのは【1・4・16・25・49】の5個。 【4】
*具体的な値でいえば、n=2、10、13、17、18


大問3(小問集合2)

(ア)ⅰ
△AEC∽△EGFの証明。

AC//DEの錯角、二等辺三角形ABCの底角、弧ACに対する円周角。
これらを駆使して2角相等で∽。
a…【2】、b…【3】


追試験の最難関。パス推奨です。

面積比ではなく面積を求めよなので、とりあえず高さを出してみる。。
Aから垂線、足をHとする。
△ABCは二等辺三角形だから、BH=7/2cm
△ABHで三平方→AH=√31/2cm
この後どうしよう(´°ω°`;)

前問の相似に目を向けてみる
四角形AGECは2組の対辺が平行だから平行四辺形。
平行四辺形は対角線で面積が4等分される
ということは、の部分が等積なので△AEC:△EGFの面積比は2:1
相似比は√2:1
ACに対応する辺EF=2√5×1/√2=√10cm

平行四辺形の対角線は各々の中点で交わるから、AF=FE=√10cm
△AFHで三平方
HF2=(√10)2-(√31/2)2
=10-31/4=9/4
HF>0だから、HF=3/2cm

FC=7/2-3/2=2cm
平行四辺形の対角線より、G
F=FC=2cm
したがって、△AGFの面積は、2×√31/2÷2=√31/2cm2

(イ)
5日間の総和は、17+27+19+27+31=121回
6日間の平均値は(121+α)÷6だが、121÷6だけで20を超えるので、
平均値が20回になることはない→A×
平均値が30回のとき、総和は30×6=180回
121回を超えるので、平均値30回はありうる→E〇
(*6日目は59回となる)

昇順に並び替えると【17・19・27・27・31】。
6個の中央値は3番目と4番目の平均。
6日目が23回であれば、中央値は23と27回の平均で25回となる→B〇
27が3番目と4番目にあるので、中央値29回はありえない→D×

問題はC。
最も中央値にしやすいのが27回なので、
仮に平均値を27回とすると、6日間の総和は27×6=162回
5日目までの総和121回を超えるのでありえる→C〇
(*6日目は41回となる)
B・C・E 【7】

(ウ)
一筋縄ではいかない。
共通問題のように、おそらく等角の大きさがわからないと出ない。
36°と28°を有効活用できそうな補助線を見つける

AOに補助線
半径より△AOBは二等辺三角形→∠OAB=36°
中心角は円周角の2倍だから、∠AOD=28×2=56°

△OADも同様に二等辺で、∠OAD=(180-56)÷2=62°
×=(36+62)÷2=49°

∠OAE=49-36=13°
最後に△OAEで外角定理→∠AED=56+13=69°

(エ)ⅰ

PがBを折り返した6秒後以降を考える。
Pの移動距離は4x。これに片道分をのぞいた4x-24。
Qの移動距離は2x。
あいだの距離y=24-(4x-24+2x)=-6x+48 
【8】

@別解@

Pが折り返す6秒後の様子をとらえる。
速さの比がP:Q=2:1なのでQはABの中点にいて、PとQは12cm離れている。
ここから4x+2x=6xごとに距離をつめていくから、グラフの傾きは-6x。
y=-6x+bに(x、y)=(6、12)を代入
12=-6×6+b
b=48
y=-6x+48


前問の式にy=0を代入。
―6x+48=0
x=8 【2】

@余談@
値だけを求めるならば、算数で一瞬です(;^ω^)

出会うまでにPとQが移動した距離の合計は往復の48cm。
48cm離れている状態でPとQが接近していく。
1秒間に4+2=6cmずつ近づくので、48÷6=8秒後


大問4(関数)

(ア)
Aのx座標は7。
y=x上の点だから、A(7、7)
これをy=ax2に代入。
7=49a
a=1/7 【1】

(イ)

AE:EB=2:5
AとBは14離れているので、2倍して4:10にするとちょうど和が14になる。
E(3、7)
DO:OG=7:5はDO=7から、そのまま長さとして扱える。
G(-5、0)

G(-5、0)⇒E(3、7)
右に8、上に7だから傾きは7/8。

傾き7/8より、GOとO~切片までの比が⑧:⑦。
切片は、5×⑦/⑧=35/8
y=7/8x+35/8
ⅰ…【5】、ⅱ…【4】

(ウ)

奇妙なところが等積らしい(;`ω´)
面積比を地道に調べていく。
ゴールがHのx座標なので、先にOFを使いそう。

△OFD∽△EFCより、EF:FO=
△OAFの面積をとすると、△FAE=△OHB=

△OAE:△OEB=AE:EB=2:5
△OEB=×5/2=
△HEB=

OH:HE=だから、Hのx座標は3×/=21/25


大問5(確率)

(ア)
ルールが複雑系(;°;ω;°;)

上からルール①、②、③とする。
11枚残るということは、取り除くカードを2枚にする
●ルール①
出目の最大数である(6、6)を出しても6以上の素数は【7・11・13】だから、
どう頑張っても3枚取り除かれるのでナシ。
●ルール②
【10・12】だけを取り除くようにする。
a+b以上の偶数なので9はセーフ。8だと【8】も取り除かれるので×。
11だと【10】を取り除けないので×。
9≦a+b≦10、a<b
(a、b)=(3、6)(4、5)(4、6)の3通り。
●ルール③
【11・13】だけを取り除きたいが、最大出目が6なので【7・9】も取り除かれる。
無し!

全体は6×6=36通り
確率は3/36=
1/12

(イ)
6枚を取り除く
●ルール①
2以上(すべて)の素数を取り除く。
1≦a≦2
(a、b)=(1、1)(2、2)の2通り。
●ルール②
2以上(すべて)の偶数を取り除く。
1≦a+b≦2、a<b
該当するaとbのペアは無い。
●ルール③
3以上の奇数を取り除く。
2≦b≦3、a>b
b=2のとき、a=3~6の4通り。
b=3のとき、a=4~6の3通り。

計9通り。
確率は9/36=1/4

大問6(空間図形)

(ア)

3:4:5より、AD=5cm
菱形の面積は〔対角線×対角線÷2〕だから、
立体の表面積は、6×8÷2×2+2×5×4=88cm2 【4】

(イ)

展開図ではなく、立体におけるGI間の距離を求める。
立体のナナメ線は、それを対角線とする直方体を想像する
1辺がa、b、cの直方体の対角線の長さ→√(a2+b2+c2
高さ2cmがわかっているので、上から見たときの縦と横の長さが知りたい。
Iが中点であることを利用して、横が6cm、縦が3/2cm。
したがって、GI=√{62+(3/2)2+22}=√(169/4)=13/2cm 【6】

(ウ)

最短距離なので展開図。
与えられた図の菱形をゴロンと転がす

交点をJ・Kとする。
菱形の面積は24cm2なので、底辺5cmで割れば高さBJ(KF)が出る
BJ=KF=24/5cm
BF=24/5×2+2=
58/5cm
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