2023年度 三重県公立高校入試問題過去問・後期選抜【数学】解説

平均27.2点(前年比:-0.3点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
4-(-3)
=4+3
=7

(2)
6(2x-5y)
12x-30y

(3)
5/√5+√20
=√5+2√5
=3√5

(4)
2-5x+4
=(x-1)(x-4)

(5)
3x2-7x+1=0
解の公式を用いて、x=(7±√37)/6

(6)

√(40n)=2√(10n)
√(10n)の根号を外すには、nに
√10を含ませる。
また、分母の3を約分する必要があるので、かけあわせるべき最小数は3√10=√90。
n=90

(7)
y=axに(x、y)=(10、-2)を代入。
-2=10a
a=-1/5

y=-1/5xにy=2/3を代入。
2/3=-1/5x
x=-10/3

(8)

平行線をひき、錯角を連鎖していく。
131-93=38°
110-38=72°
x=180-72=108°

(9)

ネジレの位置→延長しても交わらない、かつ平行でもない。
BCとCA、AD、BEは、AかBを含むのでABと交わる。×
DEはABと平行。
残りのCF、EF、FDがネジレ。
オ・キ・ク

(10)
最頻値(モード)…最もあらわれている値。
4~6秒の階級値である5秒。

(11)

①『直線ℓと点Aで接する円』→Aを通る直線ℓに対する垂線。
②『2点B、Cから等距離にある円』→BCの垂直二等分線。
③うえの交点を中心とする円。半径は中心とAとの長さ。

大問2(データの活用)

(1)
第1四分位数は箱の左端。
6点

(2)
Bの最小値3、第1四分位数13、中央値16、第3四分位数17、最大値19。
最小値がまだ登場していないので、m=3
昇順に並べ替えると、【3、12、14、15、17、17、19】と未知数n。
8人の第1四分位数は下から2番目と3番目の平均13。
中央値は4番目と5番目の平均16。
第3四分位数は上から2番目と3番目の平均17。
・・どれも合っている(‘Д’)
下の方にnを
いれると1個ずつズレてしまうので上の方に入れる
n=17であれば、第3四分位数も崩れない。
m=3、n=17

(3)

10人の第1四分位数は3番目、中央値は5番目と6番目の平均、第3四分位数は8番目。
5番目の6番目の平均が6となる組み合わせは、(6、6)(5、7)(4、8)。
しかし、(3、9)だと5番目の値が4未満となり、3番目の第1四分位数と合わなくなる。
よって、6番目の値は6か7か8。

(4)①
範囲=最大値-最小値
Aは18-2=16点、Bは19-3=16点で同じ。〇


Cの上から3番目は14点であるが、AとBは不明。
(Aの第3四分位数14点は上から2番目と3番目の平均)


大問3(方程式)

(1)
120人は小中学生の合計。
x+y=120
30人は100m走の参加者の合計。
35/100x+20/100y=30
①…x+y、
②…35/100x+20/100y

(2)
先の連立を解く。
x+y=120 …①
35/100x+20/100y=30 ←100倍
35x+20y=3000 ←÷5
7x+4y=600 …②

②-①×4で、3x=120
x=40
①に代入、y=80
小学生…40人、中学生…80人

大問4(確率)

(1)
【のぞみ】グ、グ、チョ、パ
【けいた】グ、チョ、チョ、パ
全体の取り出し方は、4×4=16通り
けいたが勝つパターンは、グが1通り、チョが1×2=2通り、パが2通り。
計5通りだから、確率は5/16。

(2)
【のぞみ】グ、グ、チョ、パ
【けんた】グ、チョ、チョ、チョ
のぞみが勝つパターンは、グが3×2=6通り、チョが0通り、パーが1通り、計7通り。
けんたが勝つパターンは、グが1通り、チョが1×3=3通り、計4通り。
のぞみの勝ちがけんたより3通り多い。

けんたにパを1枚追加するたびに、勝つパターンはのぞみが+1通り、けんたが+2通り
→けんたの勝ちがのぞみより1通り多くなる。
3÷1=3枚のパーを追加すると勝ちパターンが同じ⇒勝つ確率が等しくなる。
a=3

大問5(関数)

(1)
y=1/4x2にx=2を代入→y=1
B(2、1)

(2)
同様にA座標を求めると、A(-6、9)
A(-6,9)→B(2、1)
右に8、下に8だから、傾きは-1。
Bから左に2、上に2移動して、切片は1+2=3
y=-x+3
a=-1、b=3

(3)

y=1/4x2にx=4を代入→C(4、4)だからD(0、4)
ABの切片が3なので、△ABDは底辺が1、高さの合計が8の三角形
1×8÷2=4cm2

(4)

CD=CE=4
Cから4離れる直線上のEは2ヶ所ある。
グラフ上の点座標を求める問題は、2つのグラフの交点から方程式を立てるのが定石だが、
Eは放物線上の点ではない(´・_・`)
C座標から青い四角形は1辺4の正方形である。これをうまく使えないか。

対角線OCに補助線。
OC(y=x)とy=-x+3は傾きの積が-1だから直交する
交点をFとすると
Fのx座標は、
x=-x+3
x=3/2

OCは正方形の対角線で4√2。
C、Fの真下の点をそれぞれG、Hとする。
△FOH∽△COGから、OF:OC=3/2:4=③:⑧
FC=4√2×⑤/⑧=5√2/2

△CEFで三平方→EF=√14/2
傾き-1から1/√2倍すると、EとFのx座標の差は√7/2である。
△CEE’は二等辺三角形でCFを対称の軸として線対称。
EF=E’Fより、EとE’のx座標はFから±√7/2なので、
x=(3±√7)/2

@別解@

E、E’はCを中心とする半径4の円周上にある。

高校数学の基本問題より。
高校2年生で扱う内容ですが、円の方程式というものがあります。
原点を中心とする半径rの円を式で表すと、x2+y2=r2
中心が(a、b)にあると、(x-a)2+(y-b)2=r2が成り立ちます。

中心C(4、4)、半径r=4の円の方程式は、
(x-4)2+(y-4)2=42
円と直線との共有点は、2直線の交点が方程式の解で求まるのと同じです。
y=-x+3を代入して、
(x-4)2+(-x+3-4)2=16
(x-4)2+(-x-1)2=16 ←(-x-1)2=-(x+1)・-(x+1)=(x+1)2
(x-4)2
+(x+1)2-16=0
2x2-6x+1=0
解の公式を適用して、x=(3±√7)/2


大問6(平面図形)

(1)
△ABD∽△DAFの証明。


AB//FGの錯角(×)。
仮定の角の二等分線と弧CEに対する円周角()。
2角相等で∽。

(2)①

先の∽を用いる。
△ABD∽△DAFより、AB:AD=DA:DF=2:1
AB=6×2=12cm



角の二等分線の定理から、BA:BC=AD:DC=6:5
AD=6cmなので、DC=5cm

△ABC∽△DGCより、AB:DG=AC:DC=⑪:⑤
DG=12×⑤/⑪=
60/11cm

大問7(空間図形)

(1)
円錐の高さは、三平方を用いて√(122-42)=8√2cm
体積は、4×4×π×8√2÷3=128√2/3πcm3

(2)

最短距離の問題なので展開図を作成。
側面積の扇形の中心角は、360×半径/母線=360×4/12=120°

BAの延長とMを通る垂線の交点をHとする。
△AMHは有名三角形で辺の比は1:2:√3→AH=3cm、MH=3√3cm
△BMHで三平方→BM=6√7cm


大問が5個から7個に増加した。
大問1
(6)√40=2√10に変換。√10を整数にする+分母3の約分から3√10=√90をかける。
nは根号の中の値だから90となる。
(9)8択もあるのはAB以外のすべての直線。素直にネジレを選べないい。
大問2
(2)(4)より難しい。まず、mを素早く確定したい。
7個の段階で値が整っているので、影響しないような場所にnを挿入する。
(3)中央値に近い第1四分位数に配慮する。
大問3
ここは取ろう。
大問4
(2)今年の他県でも類題がいくつか出ていた。
大問5
(4)おそらく最も正答率が悪そうな問題。
Cから半径4の円を想像すると、直線との交点は2点ある。
CEを斜辺とする三平方。解説では対称性を利用した。
大問6
(2)②三重は角の二等分線の定理を知っておいた方が良いかも。
大問7
(2)わりとよくみかける形式である

図形分野は比較的易しかった。
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