2021年度　沖縄県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均29.9点（前年比；－3.6点）
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出題範囲の縮小は、三平方の定理の活用と標本調査。

大問１（計算）

（１）
２＋（－９）
＝２－９
＝－７

（２）
７/５×（－10）
＝－14

（３）
６－４÷（－２）
＝６＋２
＝８

（４）
４√３＋√12
＝４√３＋２√３
＝６√３

（５）
６ａｂ²÷ｂ×３ａ
＝18ａ²ｂ

（６）
－（－３ｘ＋ｙ）＋２（ｘ＋ｙ）
＝３ｘ－ｙ＋２ｘ＋２ｙ
＝５ｘ＋ｙ

大問２（小問集合）

（１）
４ｘ＋３＝ｘ－６
３ｘ＝－９
ｘ＝－３

（２）
２ｘ－３ｙ＝２　…①
ｘ＋２ｙ＝８　…②
サボは、②×２－①でやりました。
ｘ＝４、ｙ＝２

（３）
（ｘ－３）²
＝ｘ²－６ｘ＋９

（４）
ｘ²＋２ｘ－８
＝（ｘ＋４）（ｘ－２）

（５）
２ｘ²＋３ｘ－１＝０
解の公式を適用。
ｘ＝（－３±√17）/４

（６）
３×３×π×60/360
＝３/２πｃｍ²

（７）
不等式。
『７より大きい』のでイコールは含まない。
４ｘ－ｙ＞７

（８）
30人の中央値は15番目と16番目の平均。
→７時間以上～８時間未満の階級に含まれる。
階級値は７と８の平均で7.5時間。

（９）
ア：√９＜√10＜√16。√10は３より大きく、４より小さい。
イ：２乗するとａになる数をａの平方根という。６の平方根は±√６。×
ウ：１辺が√２の正方形の面積は√２×√２＝２。〇
エ：”平方根を求めよ”とは違う問題である。
√16＞０なので、√16＝４。√16≠－４×
ウ

大問３（確率）

（１）
出目が同数→（１、１）（２、２）…（６、６）の６通り。

（２）①
（ａ、ｂ）＝（ｘ、ｙ）とすると、
（ｘ、ｙ）＝（６、５）（５、４）（４、３）（３、２）（２、１）の５通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は５/36。

②
どの２辺が等辺になるか→どの１辺が等辺にならないかで場合分け。

ＯＰが等辺でない→Ｐ（６、６）
ＡＰが等辺でない→Ｐ（０、６）だが、ｘ＝０ゆえ無し。
ＯＡが等辺でない→ｘ＝３上にＰは６個ある。
７通りだから、確率は７/36。

大問４（平面図形）

（１）
角の二等分線の作図。教科書レベル。

Ａに針を合わせてヒョコ。
交点に針を合わせてヒョコヒョコ。
∠Ａの二等分線とＢＣとの交点がＰ。

（２）①

ＡＰ//ＤＣより、錯角で∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＰ＝35°

②
同位角で、∠ＡＤＣ＝35°
△ＡＣＤは２つの底角が等しく、二等辺三角形。
ＡＤ＝ＡＣ＝４ｃｍ

＠余談＠

角の二等分線の定理に出てくる形なので、見たことある人はいたはず。
２角相等で△ＡＢＰ∽△ＤＢＣ
ＢＡ：ＡＤ＝ＢＰ：ＰＣ
ＡＤ＝ＡＣで順番を整理すると、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＰ：ＰＣとなる（角の二等分線の定理）

大問５（整数）

（１）
23＝20＋３
＝10×２＋３

35＝30＋５
＝10×３＋５
①…３、②…10、③…５

（２）
十の位がａ、一の位がｂの２桁の自然数は10ａ＋ｂ
位を入れ替えた数は10ｂ＋ａ
（10ａ＋ｂ）＋（10ｂ＋ａ）
＝11ａ＋11ｂ
＝11（ａ＋ｂ）
ａ＋ｂは整数だから、11（ａ＋ｂ）は11の倍数である。
④…10ａ＋ｂ、⑤…10ｂ＋ａ、⑥…ａ＋ｂ

（３）
Ｘの十の位をａ、一の位をｂとする。
仮定よりａ＞ｂ

前問の式を利用すると、
Ｘ＋Ｙ＝11（ａ＋ｂ）＝132
ａ＋ｂ＝12
ａ＞ｂより、（ａ、ｂ）＝（９、３）（８、４）（７、５）
Ｘは75、84、93

大問６（数量変化）

（１）
２秒後の様子を描く。

ｙ＝４×２÷２＝４

（２）

ＡＰ＝２ｘ、ＢＱ＝ｘ
ｙ＝２ｘ×ｘ÷２＝ｘ²

（３）
（２）より、ＰがＡＢ上を動く０≦ｘ≦５は、ｙ＝ｘ²で増加する。

５秒後以降はＢＣ上でＰがＱを追いかける。
高さは変わらず底辺だけが短くなるから、一次関数で減少する。
10秒後にＰとＱが同時にＣへ着き、ｙ＝０となる。
イ

（４）

２つある。
ｙ＝ｘ²にｙ＝16を代入。ｘ＞０から、ｘ＝４

もう１つは、相似比が25：16である三角形の相似を利用する。
５＋５×⑨/㉕＝５＋1.8＝6.8
４秒後と6.8秒後

大問７（関数）

（１）
ｙ＝ｘ²にｘ＝－４を代入。
ｙ＝（－４）²＝16

（２）
Ａ（－４、16）→Ｂ（２、４）
右に６、下に12だから、傾きは－12/６＝－２
切片はＢから左に２、上に４移動して、４＋４＝８
ｙ＝－２ｘ＋８

（３）

△ＯＡＢは幅６、高さ８だから、
６×８÷２＝24

（４）

△ＯＰＡと△ＯＰＱは底辺がともにＡＱ上にある。
面積が等しい→ＡＰ＝ＰＱ
Ｐのｙ座標は、16÷２＝８

これをｙ＝ｘ²に代入すると、８＝ｘ²
ｘ＞０より、ｘ＝２√２
Ｐ（２√２、８）

大問８（平面図形２）

（１）
正五角形の内角の１つの大きさ。
覚えている人はすぐ書ける。
ｎ角形の内角の和は、180（ｎ－２）°
180（５－２）÷５＝108°

（２）
△ＡＣＤ∽△ＡＦＥの証明。

長さの等しい弧に対する円周角は等しい。
弧ＣＤ＝弧ＤＥより、∠ＣＡＤ＝∠ＦＡＥ
弧ＡＣに対する円周角より、∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＦ
２角相等で∽。

＠空欄の解答＠
円周角
弧ＡＣに対する円周角は等しいから、∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＦ
２角が等しい

（３）

正五角形の対称性より、△ＡＣＤは二等辺三角形（左右対称）
これと相似にあたる△ＡＦＥも二等辺なので、ＡＦ＝ＡＥ＝１ｃｍ

△ＡＦＥと△ＣＦＤに注目すると、
ＡＥ＝ＣＤと等しい円周角から、１辺と両端角が等しく合同。

△ＡＣＤ∽△ＣＦＤより、ＤＦ＝ｘｃｍとおくと、
【ＡＤ：ＣＤ＝ＣＤ：ＦＤ】
（ｘ＋１）：１＝１：ｘ
外項と内項の積で、
ｘ（ｘ＋１）＝１
ｘ²＋ｘ－１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－１±√５）/２
ｘ＞０より、ｘ＝（－１＋√５）/２
ＡＤ＝（－１＋√５）/２＋１
＝（１＋√５）/２ｃｍ

＠余談＠

正五角形の１辺を１としたとき、対角線の長さは（１＋√５）/２。
１：（１＋√５）/２は幾何的に美しい比率とされる黄金比で、自然界にもみられる。

大問９（空間図形）

（１）

△ＯＢＤで中点連結定理。
ＭＮ＝６÷２＝３ｃｍ

（２）①

面ＯＡＣを正面にして眺めると、Ａ—Ｍ—ＰとＡ—Ｎ—Ｐが一直線で重なり、
ＭとＮは同じ高さにある→Ｍの後ろにあるＱも同じ高さ。
ＭがＯＢ、ＮがＯＤの中点であるように、ＱはＯＨの中点である。
ＯＱ＝４÷２＝２ｃｍ

②

ＱＣに補助線。
ＯＰ：ＰＣは、△ＯＡＱ：△ＣＡＱの面積比にあたる。
（共通辺ＡＱを底辺にすると、高さの比がＯＰ：ＰＣだから）
△ＯＡＱと△ＣＡＱの面積比を求める。

前問より、ＱはＯＨの中点。ＯＱ＝ＱＨ
△ＯＡＱ＝△ＱＡＨ＝①とする。

ＨはＡＣの中点。ＡＨ＝ＨＣ
△ＱＡＨ＝△ＱＣＨ＝①
△ＯＡＱ：△ＣＡＱ＝ＯＰ：ＰＣ＝１：２

③

四角錐Ｏ―ＡＢＣＤ（全体）の体積は、６×６÷２×４÷３＝24ｃｍ³
ポイントは、三角錐Ｏ―ＡＢＤと三角錐Ｏ―ＣＢＤの半分に分ける。

三角錐Ｏ―ＡＢＤは12ｃｍ³
底面を△ＯＢＤに捉えなおすと、三角錐Ａ―ＯＢＤ：三角錐Ａ―ＯＭＮの体積比は、
底面積の比である△ＯＢＤ：△ＯＭＮに相当する。
三角錐Ａ―ＯＭＮの体積は、12×①/④＝３ｃｍ³

反対側の三角錐Ｃ―ＯＢＤ（12ｃｍ³）と三角錐Ｐ―ＯＭＮの体積比を考える。
底面積の比は、△ＯＢＤ：△ＯＭＮ＝④：①
高さの比は、ＯＣ：ＯＰ＝【３】：【１】
三角錐Ｃ―ＯＢＤ：三角錐Ｐ―ＯＭＮ
＝④×【３】：①×【１】
＝12：１
三角錐Ｐ―ＯＭＮの体積は、12×１/12＝１ｃｍ³

したがって、四角錐Ｏ―ＡＭＰＮの体積は、
三角錐Ａ―ＯＭＮ＋三角錐Ｐ―ＯＭＮ＝３＋１＝４ｃｍ³

＠別解＠

全体の四角錐Ｏ―ＡＢＣＤから直接、四角錐Ｏ―ＡＭＰＮの体積を求めることもできる。
△ＯＡＣを底面に捉える。前問の解答より、△ＯＡＣ：△ＯＡＰ＝③：①
△ＯＡＣを中央にして上からみると、図形全体が左右対称である。
そこで、高さは△ＯＡＣを基準にしたときの左右の最大幅で捉える。

四角錐Ｏ―ＡＢＣＤの底面積△ＯＡＣは③。高さは最大幅であるＢＤ＝６ｃｍ
四角錐Ｏ―ＡＭＰＮの底面積△ＯＡＰは①。高さは最大幅であるＭＮ＝３ｃｍ（前問で解答済み）
よって、三角錐Ｏ―ＡＭＰＮの体積は、24×①/③×３/６＝４ｃｍ³

大問10（文章題）

（１）

短辺８ｃｍを１辺とする正方形を切り取ると、４×８の長方形ができる。
短辺４ｃｍを１辺とする正方形を切り取ると、４×４の正方形が２個できて終わる。
４ｃｍ

＠＠
縦８ｃｍ、横12ｃｍの長方形を同じ正方形で埋めつくす場合、
正方形の１辺の長さは８でも12でも割り切れる数、すなわち、８と12の公約数である。
正方形の１辺の最長は８と12の最大公約数だから４ｃｍとすぐ求めることができる。
以降の解説では最大公約数を用いる。

（２）

21とｎの最大公約数が７。
正方形の数は縦が３個、横が〇個で合計15個。
〇＝15÷３＝５
ｎ÷７＝５
ｎ＝５×７＝35

（３）
221と299の最大公約数を求めて終了。
13ｃｍ

＠余談＠
221と299が何で割り切れるのか、迷ったときは差に注目する。
299－221＝78
78の約数は【1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78】
221と299はともに奇数なので偶数はバツ！
位の和が３の倍数でもない。となると、13しかない。

＠余談２＠
問題文の手順通りにやってみると、
221×299　←長辺－短辺を繰り返していく
221×78
143×78
65×78
65×13
65は13の倍数なので13ｃｍとなる。