2021年度 沖縄県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の縮小は、三平方の定理の活用と標本調査。

大問1(計算)

(1)
2+(-9)
=2-9=-7

(2)
7/5×(-10)
=-14

(3)
6-4÷(-2)
=6+2=8

(4)
4√3+√12
=4√3+2√3
=6√3

(5)
6ab2÷b×3a
=18a2

(6)
-(-3x+y)+2(x+y)
=3x-y+2x+2y
=5x+y

大問2(小問集合)

(1)
4x+3=x-6
3x=-9
x=-3

(2)
2x-3y=2 …①
x+2y=8 …②
サボは、②×2-①でやりました。
x=4、y=2

(3)
(x-3)2
=x2-6x+9

(4)
2+2x-8
=(x+4)(x-2)

(5)
2x2+3x-1=0
解の公式を適用。
x=(-3±√17)/4

(6)
3×3×π×60/360
=3/2πcm2

(7)
不等式。
『7より大きい』のでイコールは含まない。
4x-y>7

(8)
30人の中央値は15番目と16番目の平均値。
→7時間以上~8時間未満の階級に含まれる。
階級値は7と8の平均で
7.5時間。

(9)
ア:√9<
√10<√16。√10は3より大きく、4より小さい。
イ:2乗するとaになる数をaの平方根という。6の平方根は±√6。×
ウ:1辺が√2の正方形の面積は√2×√2=2。〇
エ:”平方根を求めよ”とは違う問題である。
√16>0なので、√16=4。√16≠-4×

大問3(確率)

(1)
出目が同数→(1、1)(2、2)…(6、6)の6通り。

(2)①
(a、b)=(x、y)とすると、
(x、y)=(6、5)(5、4)(4、3)(3、2)(2、1)の5通り。
全体は6×6=36通りだから、確率は
5/36。


どの2辺が等辺になるか→どの1辺が等辺にならないかで場合分け

OPが等辺でない→P(6、6)
APが等辺でない→P(0、6)だが、x=0ゆえ無し
OAが等辺でない→x=3上にPは6つできる。
7通りあるので、確率は7/36。

大問4(平面図形)

(1)
角の二等分線の作図。教科書レベル。

Aに針を合わせてヒョコ。
交点に針を合わせてヒョコヒョコ。
∠Aの二等分線とBCとの交点がP。

(2)①

AP//DCより、錯角で∠ACD=∠CAP=35°


同位角で、∠ADC=35°
△ACDは2つの底角が等しく、二等辺三角形
AD=AC=
4cm

@余談@

角の二等分線の定理に出てくる形なので、見たことある人はいたはず。
2角相等で△ABP∽△DBC
BA:AD=BP:PC
AD=ACで順番を整理すると、
AB:AC=BP:PCとなる(角の二等分線の定理
)。


大問5(整数)

(1)
基本。
23=20+3
=10×2+3

35=30+5
=10×3+5
①…3、②…10、③…5

(2)
ワークレベル。
十の位がa、一の位がbの2桁の自然数は10a+b。
位を入れ替えた数は10b+a。
(10a+b)+(10b+a)
=11a+11b=11(a+b)
a+bは整数だから、11(a+b)は11の倍数→題意は示された。
④…10a+b、⓹…10b+a、⑥…a+b

(3)
Xの十の位をa、一の位をbとする。
仮定よりa>b

前問の式を利用すると、
X+Y=11(a+b)=132
a+b=12
a>bより、(a、b)=(9、3)(8、4)(7、5)
したがって、Xは75、84、93。

大問6(数量変化)

(1)
2秒後の様子を描く。

y=4×2÷2=4

(2)

AP=2x、BQ=x
y=2x×x÷2=x2

(3)
(2)より、Pが辺AB上を動く0≦x≦5は、y=x2で増加する。

5秒後以降は辺BC上でPがQを追いかける。
高さは同じで底辺だけが短くなるから、一次関数で減少する。
10秒後にPとQが同時にCへ着き、y=0となる。

(4)

2つある。
y=x2にy=16を代入。x>0から、x=4

もう1つは、辺の比が25:16である三角形の相似を利用する。
5+5×/=5+1.8=6.8
したがって、
4秒後と6.8秒後。

大問7(関数)

(1)
y=x2にx=-4を代入。
y=(-4)2
16

(2)
A(-4、16)→B(2、4)
右に6、下に12だから、傾きは-12/6=-2
切片はBから左に2、上に4移動して
、4+4=8
y=-2x+8

(3)

△OABを等積変形。
6×8÷2=
24

(4)

△OPAと△OPQは底辺がともに直線AQ上にある。
面積が等しい→AP=PQ
Pのy座標は、16÷2=8

これをy=x2に代入すると、8=x2
x>0より、x=2√2
P(2√2、8)


大問8(平面図形2)

(1)
正五角形の内角の1つの大きさ。
覚えている人はすぐ書ける。
n角形の内角の和は、180(n-2)°
180(5-2)÷5=108°

(2)
△ACD∽△AFEの証明。穴埋めだし、内容も平易。

弧CD=弧DEより、長さの等しい弧に対する円周角は等しい。
∠CAD=∠FAE
弧ACに対する円周角より、∠ADC=∠AEF
2角相等で∽。

@空欄の解答@
円周角
弧ACに対する円周角は等しいから、∠ADC=∠AEF

2角が等しい

(3)

正五角形の対称性より、△ACDは二等辺三角形(左右対称)。
これと相似にあたる△AEFも二等辺なので、AF=AE=1cm

△AEFと△CDFに注目すると、
AE=CDと等しい円周角から、1辺と両端角が等しく合同

△ACD∽△CFDを利用する。
DF=xcmとおくと、
【AD:CD=CD:FD】
x+1:1=1:x

外項と内項の積で、
x(x+1)=1
2+x-1=0
解の公式を適用して、x=(-1±√5)/2
x>0より、x=(-1+√5)/2

AD=(-1+√5)/2+1
(1+√5)/2cm

@余談@
本問も知識で即答できた人がいたと思われる。

正五角形の1辺を1としたとき、対角線の長さは(1+√5)/2。
1:(1+√5)/2は幾何的に美しい比率とされる黄金比で、自然界にもちょくちょく現れる。

大問9(空間図形)

(1)

△OBDで中点連結定理。
MN=6÷2=3cm

(2)①

断面OACを真正面にして
眺めると、A—M—PとA—N—Pが一直線で重なり、
MとNは同じ高さにある→Mの後ろにあるQも同じ高さにある。
MがOB、NがODの中点であるように、QはOHの中点である。
OQ=4÷2=2cm



OP:PCは、△OAQ:△CAQの面積比にあたる
なぜなら、共通辺のAQを底辺にすると、高さの比がOP:PCになるから。
そこで、△OAQと△CAQの面積比を求めにいく。

前問より、QはOHの中点
OQ=QH
△OAQ=△QAH=①

HはACの中点。AH=HC
△QAH=△QCH=①
△OAQ:△CAQ=OP:PC=1:2



四角錐O-ABCD(全体)の体積は、6×6÷2×4÷3=24cm3
ポイントは、三角錐O-ABDと三角錐O-BCDの半分に分ける

三角錐O-ABDは12cm3
底面を△OBDに捉えなおすと、三角錐A-OBD:三角錐A-OMNの体積比は
底面積の比である△OBD:△OMNに相当する。
三角錐A-OMNの体積は、12×①/④=3cm3
反対側の三角錐C-OBD(12cm3)と三角錐P-OMNの体積比を考える。
底面積の比は、△OBD:△OMN=④:①
高さの比は、OC:OP=【3】:【1】
三角錐C-OBD:三角錐P-OMN
=④×【3】:①×【①】
=12:1
三角錐P-OMNの体積は、12×1/12=1cm3

したがって、四角錐O-AMPNの体積は、
三角錐A-OMN+三角錐P-OMN=3+1=4cm3

@別解@

全体の四角錐O-ABCDから直接、四角錐O-AMPNの体積を求めることもできる。
△OACを底面に捉える。前問の解答より、△OAC:△OAP=③:①
△OACを中央にして上からみると、図形全体が左右対称である。
そこで、高さは△OACを基準にしたときの左右の最大幅で捉える

四角錐O-ABCDの底面積△OACは③。高さは最大幅であるBD=6cm
四角錐O-AMPNの底面積△OAPは①。高さは最大幅であるMN=3cm(前問で解答済み)
よって、三角錐O-AMPNの体積は、24×①/③×3/6=4cm3

大問10(文章題)

(1)

手順通りにやると、短辺8cmを1辺とする正方形を切り取ると4×8の長方形ができる。
短辺4cmを1辺とする正方形を切り取ると、4×4の正方形が2個できて終わる。
4cm

@@
同じタイプの問題は多くの受験生が経験済みだと思うが、、
縦8cm、横12cmの長方形を同じ正方形で埋めつくす場合、
正方形の1辺の長さは8でも12でも割り切れる数、すなわち、8と12の公約数である。
最大の正方形の1辺の長さは8と12の最大公約数だから4cmとすぐ求めることができる。
以降の解説では最大公約数を用いる。

(2)

21とnの最大公約数が7。
正方形の数は縦が3個、横が〇個で合計15個。
〇=15÷3=5
nを÷7して〇になるから、
n=5×7=35

(3)
221と299の最大公約数を求めて終了。
13cm
あっけない(ヾノ・ω・`)

@余談@
221と299が何で割り切れるのか、迷ったときは差に注目する
299-221=78
78の約数は【1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78】
221と299はともに奇数なので偶数はバツ!
位の和が3の倍数でもない。となると、13しかない。

@余談2@
問題文の手順通りにやってみると、、
221×299 ←長辺-短辺を繰り返していく。
221×78
143×78
65×78
65×13
65が13の倍数なので13cmとなる。
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