2021年度　沖縄県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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出題範囲の縮小は、三平方の定理の活用と標本調査。

大問１（計算）

（１）
２＋（－９）
＝２－９＝－７

（２）
７/５×（－10）
＝－14

（３）
６－４÷（－２）
＝６＋２＝８

（４）
４√３＋√12
＝４√３＋２√３
＝６√３

（５）
６ａｂ²÷ｂ×３ａ
＝18ａ²ｂ

（６）
－（－３ｘ＋ｙ）＋２（ｘ＋ｙ）
＝３ｘ－ｙ＋２ｘ＋２ｙ
＝５ｘ＋ｙ

大問２（小問集合）

（１）
４ｘ＋３＝ｘ－６
３ｘ＝－９
ｘ＝－３

（２）
２ｘ－３ｙ＝２　…①
ｘ＋２ｙ＝８　…②
サボは、②×２－①でやりました。
ｘ＝４、ｙ＝２

（３）
（ｘ－３）²
＝ｘ²－６ｘ＋９

（４）
ｘ²＋２ｘ－８
＝（ｘ＋４）（ｘ－２）

（５）
２ｘ²＋３ｘ－１＝０
解の公式を適用。
ｘ＝（－３±√17）/４

（６）
３×３×π×60/360
＝３/２πｃｍ²

（７）
不等式。
『７より大きい』のでイコールは含まない。
４ｘ－ｙ＞７

（８）
30人の中央値は15番目と16番目の平均値。
→７時間以上～８時間未満の階級に含まれる。
階級値は７と８の平均で7.5時間。

（９）
ア：√９＜√10＜√16。√10は３より大きく、４より小さい。
イ：２乗するとａになる数をａの平方根という。６の平方根は±√６。×
ウ：１辺が√２の正方形の面積は√２×√２＝２。〇
エ：”平方根を求めよ”とは違う問題である。
√16＞０なので、√16＝４。√16≠－４×
ウ

大問３（確率）

（１）
出目が同数→（１、１）（２、２）…（６、６）の６通り。

（２）①
（ａ、ｂ）＝（ｘ、ｙ）とすると、
（ｘ、ｙ）＝（６、５）（５、４）（４、３）（３、２）（２、１）の５通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は５/36。

②
どの２辺が等辺になるか→どの１辺が等辺にならないかで場合分け。

ＯＰが等辺でない→Ｐ（６、６）
ＡＰが等辺でない→Ｐ（０、６）だが、ｘ＝０ゆえ無し。
ＯＡが等辺でない→ｘ＝３上にＰは６つできる。
７通りあるので、確率は７/36。

大問４（平面図形）

（１）
角の二等分線の作図。教科書レベル。

Ａに針を合わせてヒョコ。
交点に針を合わせてヒョコヒョコ。
∠Ａの二等分線とＢＣとの交点がＰ。

（２）①

ＡＰ//ＤＣより、錯角で∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＰ＝35°

②
同位角で、∠ＡＤＣ＝35°
△ＡＣＤは２つの底角が等しく、二等辺三角形。
ＡＤ＝ＡＣ＝４ｃｍ

＠余談＠

角の二等分線の定理に出てくる形なので、見たことある人はいたはず。
２角相等で△ＡＢＰ∽△ＤＢＣ。
ＢＡ：ＡＤ＝ＢＰ：ＰＣ
ＡＤ＝ＡＣで順番を整理すると、
ＡＢ：ＡＣ＝ＢＰ：ＰＣとなる（角の二等分線の定理）。

大問５（整数）

（１）
基本。
23＝20＋３
＝10×２＋３

35＝30＋５
＝10×３＋５
①…３、②…10、③…５

（２）
ワークレベル。
十の位がａ、一の位がｂの２桁の自然数は10ａ＋ｂ。
位を入れ替えた数は10ｂ＋ａ。
（10ａ＋ｂ）＋（10ｂ＋ａ）
＝11ａ＋11ｂ＝11（ａ＋ｂ）
ａ＋ｂは整数だから、11（ａ＋ｂ）は11の倍数→題意は示された。
④…10ａ＋ｂ、⑤…10ｂ＋ａ、⑥…ａ＋ｂ

（３）
Ｘの十の位をａ、一の位をｂとする。
仮定よりａ＞ｂ

前問の式を利用すると、
Ｘ＋Ｙ＝11（ａ＋ｂ）＝132
ａ＋ｂ＝12
ａ＞ｂより、（ａ、ｂ）＝（９、３）（８、４）（７、５）
したがって、Ｘは75、84、93。

大問６（数量変化）

（１）
２秒後の様子を描く。

ｙ＝４×２÷２＝４

（２）

ＡＰ＝２ｘ、ＢＱ＝ｘ
ｙ＝２ｘ×ｘ÷２＝ｘ²

（３）
（２）より、Ｐが辺ＡＢ上を動く０≦ｘ≦５は、ｙ＝ｘ²で増加する。

５秒後以降は辺ＢＣ上でＰがＱを追いかける。
高さは同じで底辺だけが短くなるから、一次関数で減少する。
10秒後にＰとＱが同時にＣへ着き、ｙ＝０となる。
イ

（４）

２つある。
ｙ＝ｘ²にｙ＝16を代入。ｘ＞０から、ｘ＝４

もう１つは、辺の比が25：16である三角形の相似を利用する。
５＋５×⑨/㉕＝５＋1.8＝6.8
したがって、４秒後と6.8秒後。

大問７（関数）

（１）
ｙ＝ｘ²にｘ＝－４を代入。
ｙ＝（－４）²＝16

（２）
Ａ（－４、16）→Ｂ（２、４）
右に６、下に12だから、傾きは－12/６＝－２
切片はＢから左に２、上に４移動して、４＋４＝８
ｙ＝－２ｘ＋８

（３）

△ＯＡＢを等積変形。
６×８÷２＝24

（４）

△ＯＰＡと△ＯＰＱは底辺がともに直線ＡＱ上にある。
面積が等しい→ＡＰ＝ＰＱ
Ｐのｙ座標は、16÷２＝８

これをｙ＝ｘ²に代入すると、８＝ｘ²
ｘ＞０より、ｘ＝２√２
Ｐ（２√２、８）

大問８（平面図形２）

（１）
正五角形の内角の１つの大きさ。
覚えている人はすぐ書ける。
ｎ角形の内角の和は、180（ｎ－２）°
180（５－２）÷５＝108°

（２）
△ＡＣＤ∽△ＡＦＥの証明。穴埋めだし、内容も平易。

弧ＣＤ＝弧ＤＥより、長さの等しい弧に対する円周角は等しい。
∠ＣＡＤ＝∠ＦＡＥ
弧ＡＣに対する円周角より、∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＦ
２角相等で∽。

＠空欄の解答＠
円周角
弧ＡＣに対する円周角は等しいから、∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＦ
２角が等しい

（３）

正五角形の対称性より、△ＡＣＤは二等辺三角形（左右対称）。
これと相似にあたる△ＡＥＦも二等辺なので、ＡＦ＝ＡＥ＝１ｃｍ

△ＡＥＦと△ＣＤＦに注目すると、
ＡＥ＝ＣＤと等しい円周角から、１辺と両端角が等しく合同。

△ＡＣＤ∽△ＣＦＤを利用する。
ＤＦ＝ｘｃｍとおくと、
【ＡＤ：ＣＤ＝ＣＤ：ＦＤ】
ｘ＋１：１＝１：ｘ

外項と内項の積で、
ｘ（ｘ＋１）＝１
ｘ²＋ｘ－１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝（－１±√５）/２
ｘ＞０より、ｘ＝（－１＋√５）/２

ＡＤ＝（－１＋√５）/２＋１
＝（１＋√５）/２ｃｍ

＠余談＠
本問も知識で即答できた人がいたと思われる。

正五角形の１辺を１としたとき、対角線の長さは（１＋√５）/２。
１：（１＋√５）/２は幾何的に美しい比率とされる黄金比で、自然界にもちょくちょく現れる。

大問９（空間図形）

（１）

△ＯＢＤで中点連結定理。
ＭＮ＝６÷２＝３ｃｍ

（２）①

断面ＯＡＣを真正面にして眺めると、Ａ—Ｍ—ＰとＡ—Ｎ—Ｐが一直線で重なり、
ＭとＮは同じ高さにある→Ｍの後ろにあるＱも同じ高さにある。
ＭがＯＢ、ＮがＯＤの中点であるように、ＱはＯＨの中点である。
ＯＱ＝４÷２＝２ｃｍ

②

ＯＰ：ＰＣは、△ＯＡＱ：△ＣＡＱの面積比にあたる。
なぜなら、共通辺のＡＱを底辺にすると、高さの比がＯＰ：ＰＣになるから。
そこで、△ＯＡＱと△ＣＡＱの面積比を求めにいく。

前問より、ＱはＯＨの中点。ＯＱ＝ＱＨ
△ＯＡＱ＝△ＱＡＨ＝①とする。

ＨはＡＣの中点。ＡＨ＝ＨＣ
△ＱＡＨ＝△ＱＣＨ＝①
△ＯＡＱ：△ＣＡＱ＝ＯＰ：ＰＣ＝１：２

③

四角錐Ｏ－ＡＢＣＤ（全体）の体積は、６×６÷２×４÷３＝24ｃｍ³
ポイントは、三角錐Ｏ－ＡＢＤと三角錐Ｏ－ＢＣＤの半分に分ける。

三角錐Ｏ－ＡＢＤは12ｃｍ³。
底面を△ＯＢＤに捉えなおすと、三角錐Ａ－ＯＢＤ：三角錐Ａ－ＯＭＮの体積比は、
底面積の比である△ＯＢＤ：△ＯＭＮに相当する。
三角錐Ａ－ＯＭＮの体積は、12×①/④＝３ｃｍ³
反対側の三角錐Ｃ－ＯＢＤ（12ｃｍ³）と三角錐Ｐ－ＯＭＮの体積比を考える。
底面積の比は、△ＯＢＤ：△ＯＭＮ＝④：①
高さの比は、ＯＣ：ＯＰ＝【３】：【１】
三角錐Ｃ－ＯＢＤ：三角錐Ｐ－ＯＭＮ
＝④×【３】：①×【①】
＝12：１
三角錐Ｐ－ＯＭＮの体積は、12×１/12＝１ｃｍ³

したがって、四角錐Ｏ－ＡＭＰＮの体積は、
三角錐Ａ－ＯＭＮ＋三角錐Ｐ－ＯＭＮ＝３＋１＝４ｃｍ³

＠別解＠

全体の四角錐Ｏ－ＡＢＣＤから直接、四角錐Ｏ－ＡＭＰＮの体積を求めることもできる。
△ＯＡＣを底面に捉える。前問の解答より、△ＯＡＣ：△ＯＡＰ＝③：①
△ＯＡＣを中央にして上からみると、図形全体が左右対称である。
そこで、高さは△ＯＡＣを基準にしたときの左右の最大幅で捉える。

四角錐Ｏ－ＡＢＣＤの底面積△ＯＡＣは③。高さは最大幅であるＢＤ＝６ｃｍ
四角錐Ｏ－ＡＭＰＮの底面積△ＯＡＰは①。高さは最大幅であるＭＮ＝３ｃｍ（前問で解答済み）
よって、三角錐Ｏ－ＡＭＰＮの体積は、24×①/③×３/６＝４ｃｍ³

大問10（文章題）

（１）

手順通りにやると、短辺８ｃｍを１辺とする正方形を切り取ると４×８の長方形ができる。
短辺４ｃｍを１辺とする正方形を切り取ると、４×４の正方形が２個できて終わる。
４ｃｍ

＠＠
同じタイプの問題は多くの受験生が経験済みだと思うが、、
縦８ｃｍ、横12ｃｍの長方形を同じ正方形で埋めつくす場合、
正方形の１辺の長さは８でも12でも割り切れる数、すなわち、８と12の公約数である。
最大の正方形の１辺の長さは８と12の最大公約数だから４ｃｍとすぐ求めることができる。
以降の解説では最大公約数を用いる。

（２）

21とｎの最大公約数が７。
正方形の数は縦が３個、横が〇個で合計15個。
〇＝15÷３＝５
ｎを÷７して〇になるから、
ｎ＝５×７＝35

（３）
221と299の最大公約数を求めて終了。
13ｃｍ
あっけない(ヾﾉ･ω･`)

＠余談＠
221と299が何で割り切れるのか、迷ったときは差に注目する。
299－221＝78
78の約数は【1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78】
221と299はともに奇数なので偶数はバツ！
位の和が３の倍数でもない。となると、13しかない。

＠余談２＠
問題文の手順通りにやってみると、、
221×299　←長辺－短辺を繰り返していく。
221×78
143×78
65×78
65×13
65が13の倍数なので13ｃｍとなる。