2023年度 三重県公立高校入試・前期過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
(-6)2+24÷(-3)
=36-8
=28

(2)
4(2x-1)-6x
=8x-4-6x
=2x-4

(3)
30ab÷6/5b
=25a

(4)
√18-4/√8
=3√2-4/(2√2)
=3√2-√2
=2√2

(5)
(x-6)(x+3)=3(x-9)
2-3x-18=3x-27
2-6x+9
=(x-3)2=0
x=3

(6)
全体のミカンはx個。
配る予定のミカンは5y個。
ミカンが不足したということは、5yの方が大きかった。
x<5y

(7)
y=ax2において、xの値がp→qに増加したときの変化の割合はa(p+q)
(2+6)a=4
8a=4
a=1/2

(8)
球の表面積S=4πr2
4×π×52=100πcm2

(9)

円に内接する四角形の対角の和は180°→∠BAD+∠BCD=180°
∠CAD=180-(120+37)=23°
弧CDの円周角より、∠DBC=23°


∠ABD=92-23=69°
最後に赤線で外角定理を適用→x=37+69=106°

(10)

①線分OXとOYから等距離→∠XOYの二等分線
②∠OPA=90°→①の二等分線とAを通る垂線の交点がP。
公式解答の例2では、直径OAに対する円周角から∠OPA=90°を導いている。

大問2(データの活用)

(1)
35人の中央値は、(35+1)÷2=18番目
これは20分以上30分未満の階級に含まれる。
たろうの30分は30分以上40未満の階級に含まれるから、遅いグループのB。
①…20、②…30、③…B

(2)
1年生の30~40分の階級の相対度数は、7/35=1/5
2年生の30~40分の階級(ア)を①とおくと、合計の(イ)は⑤にあたる
残りの階級の和の4+8+10+2+0=24人は④なので、
ア…24×①/④=6人
イ…24+6=30人
ア…6、イ…30


大問3(確率)

(1)
平面ABCD上に線分ができる→B・C・Dのどれかを取ればいい。
7枚中3枚だから、確率は3/7。

(2)

正三角形はどこで現れるか。
試しにABで調べてみると正三角形を作れない!
Bがダメなら、同じくAと隣接しているD・Eもダメ
AGは直方体の対角線で、同じく正三角形が作れない。

正方形の対角線を1辺とする、この3つしかない。
すなわち、C・F・Hから2つ選べばいい
32=3通り
7つから2つを選ぶ組み合わせは、72=21通り
確率は、3/21=1/7

大問4(平面図形)

(1)
△EAF≡△CGHの証明。

仮定より、EA=CG
BE//CDより、錯角で∠AEF=∠GCH(
同じく錯角で、∠EAF=∠FDG(
AD//HGの同位角で、∠CGH=(
1辺と両端角が等しいので合同。

(2)

AE=とすると、AB=
前問の合同から、GC=AE=
平行四辺形の対辺は等しいので、DC=
DG=

HG=とする。
△CGH∽△CDFより、相似比はだからFD=
また、合同からFA=HG=
AD=a=なので、HG=a×/=1/4acm

(3)

面積が最も小さい△EAFの面積を【1】とする。
AF:FD=から、△EFD=【3】
合同で△CGH=【1】
面積比は相似比の2乗
△CGH:△CDF=【1】:【9】→四角形FHGD=【8】

FD//HGから、FH:HC=DG:GC=
合同の対応する辺から、EF=CH=
EF:FH=より、△AHF=【2】
したがって、△EFD:四角形AHGD=3:10

大問5(空間図形)

(1)
4×4÷2×6=48cm3

(2)

立面図は正面、平面図は真上から見た図
正四角柱と円柱はOK。


正三角柱は底面が正三角形なので平面図が×。
正五角柱にいたっては立面図も平面図も×。
イ・エ

@余談@

三角柱でも底面が直角三角形(か鈍角三角形)であれば条件を満たす。


大問6(数量変化)

(1)
パンフレット1部をxg、箱をygとする。
14x+y=275 …①
31x+y=530 …②
②-①で、17x=255
x=15
①に代入してy=65
パンフレット1部…15g、箱…65g

(2)①
4×30+16=136g
グラフの横軸の1目盛りは50g
136gは210円。


封筒2枚のとき、全体の重さは4×140+16×2=592g

重さと料金を表でまとめるとこうなる。
592gを2つにうまく分けて、料金を安く抑えたい。

2枚の封筒を平均すると、592÷2=296g
必ず1枚は296g以上になってしまう。(390円の支払いは確定
1枚を500gに偏らせると、他方は592-500=92g(140円)
料金は、140+390=530円

大問7(関数)

(1)①
y=-2x-2にx=-2を代入。
P(-2、2)
これをy=1/2x+bに代入。
2=1/2×(-2)+b
b=3


Rはy=1/2x+3とy=x-2の交点である。
1/2x+3=x-2
1/2x=5
x=10
y=x-2にx=10を放り込んで、y=8
R(10、8)



PRの中点をTとする。
PT:TR=1:1から、△PQTは△PQRの半分である
Tのx座標は、PとRのx座標の平均→(-2+10)÷2=4

△PQT=△PQS+△SQT
Tを通るy軸に平行な線をひき、QRとの交点をT’とする
等積変形で△SQT=△SQT’だから、四角形PQT’Sは△PQTと等積、
四角形PQT’Sは△PQRの半分で、ST’が△PQRを2等分する

y=x-2にx=4を代入して、T’のy座標は2。
S(0、3)→T’(4、2)
右に4、下に1だから傾きは-1/4。切片はSのy座標の3。
y=-1/4x+3

(2)

切片bを操作する。
→y=1/2xを上下に平行移動させて△SQR=11cm2となるタイミングを探す

SOの長さがbにあたる。
SOはSQ上にある線分で、SQがわかればOQ=2cmだからSOもわかる
△SQRと相似な図形をつくってSQを求めてみる。


y=x-2とx軸との交点をXとする。X(2、0)
Xを通るSRに平行な線をひき、y軸との交点をYとする
この直線の傾きは1/2なので、Xから左に2、下に1進んだところがY。
Y(0、-1)

△YQXの面積は、1×2÷2=1cm2
△SQR∽△YQXより、面積比は11:1。
相似比は√11:1
YQ=1cmなので、SQ=√11cm
b=SQ-OQ=√11-2(-2+√11)


大問1
ミスは防ぎたい。
(9)見た目のわりに出しにくい。わかる角度から埋めていく。
大問2
(2)相対度数は小数での記載が多いが、比で表した方がわかりやすい。
大問3
(2)大問が7個あるので、ここで時間を使うと完走が危うくなる。
Aとの位置関係においてB・D・Eは同じ。Bを調べればDとEも同じ結果である。
Aから伸びる線分で正三角形の1辺になりえるのは、正方形の対角線しかない。
大問4
(2)ADより長さの短いHGから考えていくのが良い。
(3)面積が小さい△EAFから出発する。
合同で△CGHにワープして、四角形FHGDが求まる。
難所は△AHFか。EF:FHはEC上の比。合同と平行から求まる。
大問5
(2)立面図と平面図を取り間違えない。
大問6
(2)②まずは全体の重さを算出する。
一方は絶対に296g以上になってしまう。
一方に500gを詰めて、他方の重さをできる限り軽くする。
大問7
(1)②までは取ろう。
③いたるところで出題される等積変形。
本問はPRの中点を真下におろしてQRとぶつかる点がキーになる。
(2)発想力が試される。
SQがわかればいい→△SQRと相似にある図形をつくる。
都合がよい相似はSRと平行な直線。
平行線を(2、0
)まで下ろせればあと少し。
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