平均48.05点(前年比;+1.50点)
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大問1(計算)
(1)①
1-6
=-5
②
2(x+3y)-(5x-4y)
=2x+6y-5x+4y
=-3x+10y
③
15a2b÷3ab3×b2
=5a
④
9/√3-√12
=3√3-2√3
=√3
(2)
x2-6x+9
=(x-3)2
大問2(小問集合)
(1)
ア:印をつけて平均を表す箱ひげ図もあるが、本問には印がないので平均点はわからない。×
イ:最小値を見ると、数学は20点、国語と英語は20点を超えている。
3教科の合計点の最小値は少なくとも60点を超える。〇
ウ:25人の第2四分位数(中央値)は13番目の値。
国語の中央値は60点を超えているので、少なくとも13人は60点以上である。×
エ:第3四分位数は上位12人の真ん中、上から6番目と7番目の平均である。
英語の第3四分位数は80点を超えており、少なくとも6人は80点以上である。〇
イ・エ
(2)
252を素因数分解すると、252=22×32×7
『ある自然数の2乗』をつくるので、
7を除外すれば、22×32=(2×3)2=62になる。
n=7
(3)
x2+3ax+a2-7=0
a=-1を代入すると、
x2-3x-6=0
解の公式を適用して、x=(3±√33)/2
(4)
箱の数をx個とする。
チョコレートの数で等式を立てる。
1箱30個ずつ入れると22個余った→30x+22
1箱35個ずつ入れると最後だけ32個→35x個から3個分不足→35x-3
30x+22=35x-3
x=5
5個
大問3(確率)
(1)
太郎は1~6段目、花子も1~6段目に進む。
出会う段は6通りで、サイコロは1回しか振らない。
太郎が何かを出し、花子がそれに応じた出目をピンポイントで出せばいい。
(たとえば、太郎が1を出したら、花子は6を出して1段目で会う。
太郎が2を出したら、花子は5を出して2段目で会う…といった具合)
1/6
(2)
2段差となる組み合わせを調べる。
(1、3)(2、4)(3、5)(4、6)と、これらの逆をあわせた8通り。
全体は6×6=36通りだから、確率は8/36=2/9
(3)
(1)は同じ段、(2)は2段差。
1段差を求めてから、最後に全体から引くと3段差以上がでる。(余事象)
1段差は(1、2)(2、3)(3、4)(4、5)(5、6)と逆を合わせた10通り。
2段差以内が6+8+10=24通り
3段差以上は36-24=12通り
確率は、12/36=1/3
大問4(平面図形)
(1)①
OD//BCから同位角(●)が等しく、共通角(×)と合わせ、
2角相等で△AOD∽△ABC
相似比は、AO:AB=1:2
OD=10÷2=5cm
②
△ABC∽△POAの証明。
半円の弧に対する円周角で、∠ACB=90°
直線ℓは接点をAとする円Oの接線で、接線と半径は直交する。∠PAO=90°
また、OP//BCの同位角より、∠ABC=∠POA
2組の角が等しいから∽。
ア…半円の弧に対する円周角、イ…∠ACB
ウ…∠ABC、エ…∠POA(ウエは順不同)、オ…2組の角
(2)
△APOの内角は30°ー60°ー90°→辺の比は1:2:√3
PA=7√3cm、PO=14cm
半径でEO=7cmということは、EはPOの中点である。
PE=EOより、△APEは△APOの半分だから、
7×7√3÷2÷2=49√3/4cm2
大問5(関数)
(1)①
y=ax2に(x、y)=(6、6)を代入。
6=36a
a=1/6
②
y=ax2の比例定数aを大きくすると、グラフの開きは小さくなる→点Cに近づく。
反対に、aを小さくすると、グラフの開きは大きくなる→点Bに近づく。
y=ax2にD(4、4)を代入、a=1/4
1/3はこれより大きいのでPはCに近づき、線分CD上にある。
オ
(2)
辺上の格子点も含むので、すでに7個(〇)は確定している。
あと5個の格子点を追加したい。
3つの格子点を通過する傾き1/2で試してみると9個もでてくる。
傾きが1/2より大きくなれば、直線上の3個が除外されて残り6個。
あと1個を除外すればいい。
y=1/2xに近い点を調査する。
各点を通過する直線の傾き(変化の割合)は2/3、3/4、3/5。
大小関係を比べると、3/5<2/3<3/4
傾きが3/5を超えると1個の格子点が外に出て、格子点は5個になる。
傾きが2/3を超えると2個の格子点が外に出て、格子点は3個になる。
3/5<b≦2/3
大問6(空間図形)
(1)
△CPQを調べるために、△BCDを描く。
仮定の2:1から長さは上図になる。
正四面体の面は正三角形。∠QCP=60°
辺の比が2:1、この時点で三角定規と察せる。
Dから垂線をひいた足をEとすると、EC=6÷2=3cm
EP=1cm
2辺の比とあいだの角から△CPQ∽△CEDで、∠CPQ=90°
△CPQは辺の比が1:2:√3の直角三角形。
ウ
(2)①
Aを通る垂線の足をFとする。
△ACFの辺の比は1:2:√3→CF=3cm、AF=3√3cm
FQ=4-3=1cm
△AFQで三平方→AQ=2√7cm
②
△APQの情報を集める。
EはBCの中点、FはCDの中点。
△AEPと△AFQは、AE=AF、EP=FQ、∠AEP=∠AFQ=90°より、
2辺とあいだの角が等しいから合同。
AP=AQ=2√7cm
△CPQの辺の比から、PQ=2√3cm
△APQは等辺が2√7cmの二等辺三角形。
Aから垂線を下ろし、PQとの交点をGとする。
△APGで三平方→高さAG=5cm
今度はQから垂線をおろし、APとの交点をHとする。
APを軸とした回転体の半径はHQにあたる。
△APQの面積を2通りで表すと、
【PQ×AG÷2=AP×QH÷2】
QH=2√3×5÷2√7=5√21/7cm
回転体の体積は、(5√21/7)2π×2√7÷3=50√7/7πcm3
易問率が高め。
大問1
いずれも基本の計算。
大問2
ここも典型題が多い。
(1)2つ選ぶと指定されているので選びやすい。
イ:最小値の和から判断する。
大問3
出会うのは1~6段目、サイコロの出目と同じで一度しか振らない。
親切な設計になっている。
(3)余事象に頼らなくても解ける。
大問4
(3)平面のラス問も易しい部類にはいる。
△APOは有名三角形。辺の比は①:②→半径からEO=①
大問5
(1)②ここも傾きの基本ですね(;’∀’)
(2)差がつきやすいが、図2のグラフが格子状になっているので、
定規でひいて調べれば解けてしまう。
大問6
(1)△CPQは正三角形DBC上にある→△DBCで調べる。
(2)②回転体の半径はQを通るAPに垂直な垂線。
△APQの各辺の長さを前問の解答から調べる。
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