2023年度　茨城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均48.05点（前年比；＋1.50点）
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大問１（計算）

（１）①
１－６
＝－５

②
２（ｘ＋３ｙ）－（５ｘ－４ｙ）
＝２ｘ＋６ｙ－５ｘ＋４ｙ
＝－３ｘ＋10ｙ

③
15ａ²ｂ÷３ａｂ³×ｂ²
＝５ａ

④
９/√３－√12
＝３√３－２√３
＝√３

（２）
ｘ²－６ｘ＋９
＝（ｘ－３）²

大問２（小問集合）

（１）
ア：印をつけて平均を表す箱ひげ図もあるが、本問には印がないので平均点はわからない。×
イ：最小値を見ると、数学は20点、国語と英語は20点を超えている。
　３教科の合計点の最小値は少なくとも60点を超える。〇
ウ：25人の第２四分位数（中央値）は13番目の値。
　国語の中央値は60点を超えているので、少なくとも13人は60点以上である。×
エ：第３四分位数は上位12人の真ん中、上から６番目と７番目の平均である。
　英語の第３四分位数は80点を超えており、少なくとも６人は80点以上である。〇
イ・エ

（２）
252を素因数分解すると、252＝２²×３²×７
『ある自然数の２乗』をつくるので、
７を除外すれば、２²×３²＝（２×３）²＝６²になる。
ｎ＝７

（３）
ｘ²＋３ａｘ＋ａ²－７＝０
ａ＝－１を代入すると、
ｘ²－３ｘ－６＝０
解の公式を適用して、
ｘ＝（３±√33）/２

（４）
箱の数をｘ個とする。
チョコレートの数で等式を立てる。
１箱30個ずつ入れると22個余った→30ｘ＋22
１箱35個ずつ入れると最後だけ32個→35ｘ個から３個分不足→35ｘ－３

30ｘ＋22＝35ｘ－３
ｘ＝５
５個

大問３（確率）

（１）
太郎は１～６段目、花子も１～６段目に進む。
出会う段は６通りで、サイコロは１回しか振らない。
太郎が何かを出し、花子がそれに応じた出目をピンポイントで出せばいい。
（たとえば、太郎が１を出したら、花子は６を出して１段目で会う。
太郎が２を出したら、花子は５を出して２段目で会う…といった具合）
１/６

（２）
２段差となる組み合わせを調べる。
（１、３）（２、４）（３、５）（４、６）と、これらの逆をあわせた８通り。
全体は６×６＝36通りだから、確率は８/36＝２/９

（３）
（１）は同じ段、（２）は２段差。
１段差を求めてから、最後に全体から引くと３段差以上がでる。（余事象）

１段差は（１、２）（２、３）（３、４）（４、５）（５、６）と逆を合わせた10通り。
２段差以内が６＋８＋10＝24通り
３段差以上は36－24＝12通り
確率は、12/36＝１/３

大問４（平面図形）

（１）①

ＯＤ//ＢＣから同位角（●）が等しく、共通角（×）と合わせ、
２角相等で△ＡＯＤ∽△ＡＢＣ
相似比は、ＡＯ：ＡＢ＝１：２
ＯＤ＝10÷２＝５ｃｍ

②
△ＡＢＣ∽△ＰＯＡの証明。

直径ＡＢに対する円周角で、∠ＡＣＢ＝90°
直線ℓは接点をＡとする円Ｏの接線で、接線と半径は直交する。∠ＰＡＯ＝90°
また、ＯＰ//ＢＣの同位角で、∠ＡＢＣ＝∠ＰＯＡ
２組の角が等しいから∽。
*角の記述は対応する順に書こう。
ア…半円の弧に対する円周角（線分ＡＢは直径）、イ…∠ＡＣＢ
ウ…∠ＡＢＣ、エ…∠ＰＯＡ（ウエは順不同）、オ…２組の角

（２）

△ＡＰＯの内角は30°ー60°ー90°で、辺の比は１：２：√３。
ＰＡ＝７√３ｃｍ、ＰＯ＝14ｃｍ

半径で、ＥＯ＝７ｃｍ…ということは、ＥはＰＯの中点である。
ＰＥ＝ＥＯより、△ＡＰＥは△ＡＰＯの半分だから、
７×７√３÷２÷２＝49√３/４ｃｍ²

大問５（関数）

（１）①
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（６、６）を代入。
６＝36ａ
ａ＝１/６

②

ｙ＝ａｘ²のａを大きくすると、グラフの開きは小さくなる→点Ｃに近づく。
反対に、ａを小さくすると、グラフの開きは大きくなる→点Ｂに近づく。
ｙ＝ａｘ²にＤ（４、４）を代入、ａ＝１/４
１/３はこれより大きいのでＰはＣに近づき、線分ＣＤ上にある。
オ

（２）

辺上の格子点も含むので、すでに７個（〇）は確定している。
あと５個の格子点を追加したい。
３つの格子点を通過する傾き１/２で試してみると９個もでてくる。
傾きが１/２より大きくなれば、直線上の３個が除外されて残り６個。
あと１個を除外すればいい。

ｙ＝１/２ｘに近い点を調査する。
各点を通過する直線の傾き（変化の割合）は２/３、３/４、３/５。
大小関係を比べると、３/５＜２/３＜３/４
傾きが３/５を超えると１個の格子点が外に出て、格子点は５個になる。
傾きが２/３を超えると２個の格子点が外に出て、格子点は３個になる。
３/５＜ｂ≦２/３

大問６（空間図形）

（１）

△ＣＰＱを調べるために、△ＢＣＤを描く。
仮定の２：１から、長さは上図になる。
正四面体の面は正三角形。∠ＱＣＰ＝60°
…辺の比が２：１だし、この時点で三角定規と察せる。。(･Д･)

Ｄから垂線をひいた足をＥとすると、ＥＣ＝６÷２＝３ｃｍ
ＥＰ＝１ｃｍ
２辺の比とあいだの角から△ＣＰＱ∽△ＣＥＤで、∠ＣＰＱ＝90°
△ＣＰＱは辺の比が１：２：√３の直角三角形。
ウ

（２）①

Ａを通る垂線の足をＦとする。
△ＡＣＦの辺の比は１：２：√３→ＣＦ＝３ｃｍ、ＡＦ＝３√３ｃｍ
ＦＱ＝４－３＝１ｃｍ
△ＡＦＱで三平方→ＡＱ＝２√７ｃｍ

②

△ＡＰＱの情報を集める。
ＥはＢＣの中点、ＦはＣＤの中点。
△ＡＥＰと△ＡＦＱは、ＡＥ＝ＡＦ、ＥＰ＝ＦＱ、∠ＡＥＰ＝∠ＡＦＱ＝90°より、
２辺とあいだの角が等しいから合同。
ＡＰ＝ＡＱ＝２√７ｃｍ
△ＣＰＱの辺の比から、ＰＱ＝２√３ｃｍ

△ＡＰＱは等辺が２√７ｃｍの二等辺三角形。
Ａから垂線を下ろし、ＰＱとの交点をＧとする。
△ＡＰＧで三平方→高さＡＧ＝５ｃｍ

今度はＱから垂線をおろし、ＡＰとの交点をＨとする。
ＡＰを軸とした回転体の半径はＨＱにあたる。

△ＡＰＱの面積を２通りで表すと、
【ＰＱ×ＡＧ÷２＝ＡＰ×ＱＨ÷２】
ＱＨ＝２√３×５÷２√７＝５√21/７ｃｍ
回転体の体積は、（５√21/７）²π×２√７÷３＝50√７/７πｃｍ³