2023年度 佐賀県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均22.4点(前年比;-0.2点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)(ア)
-4-7
=-11

(イ)
-2(x+3y)+(x-3y)
=-2x-6y+x-3y
=-x-9y

(ウ)
8xy2÷(-2x)
=-4y2

(エ)
(√5+1)2
=5+2√5+1
=6+2√5

(2)
2-9y2
=(x+3y)(x-3y)

(3)
2x2-x-2=0
解の公式を適用して、x=(1±√17)/4

(4)

側面の扇形の弧と、底面の円の円周の長さは同じ。
中心角の比は、扇形:円=180:360=1:2
半径は逆比で、扇形(母線):円(半径)=②:①
半径は、4×①/②=
2cm

(5)

接線と半径は垂直に交わる
接点をT、T’とすると、∠ATO=∠AT’O=90°
直径に対する円周角は90°。
直径をAOとする円を描き、その円と円Oが交わる2点がT、T’となる。
①AOの垂直二等分線
②AOの中点からグルっと円を描く。
③Aから接点に向けて2本の接線をひく。

(6)

Bを通る平行線をひく。錯角でxと44°を移動させる。
△ABCは二等辺だから、∠ABC=∠ACB=x+44°
△ABCの内角より、2(x+44)+54=180
x=19°

(7)

①:第3四分位数(Q3)が最も大きいのは2012年。×
②:四分位範囲=Q3-Q1、箱の横の長さで2012年が最も大きい。〇
③:2021年の最小値は18℃だが、第1四分位数(Q1)は23℃。
 下から25%のデータ(3か月)の中で20℃以下は複数月あるかもしれない。×
④:2012年のQ3は34℃を超えている。上位25%は34℃以上。〇
⑤:×印などで平均値を示す箱ひげ図もあるが、この図にはない。×
②、④


大問2(方程式&数量変化)

(1)(ア)
単位を書くと…
x+y=1640m
x/(分速60m)+y/(分速100m)=22分
xは歩いた道のり、yは走った道のり(①)。
歩いた速さは分速60m(②)。

別の方程式をつくる。
先ほどは道のりを文字においた。速さは分速60mと分速100mと決まっている。
残りの要素は時間しかない(③)。

(イ)
歩いた時間をx、走った時間をyとする。
道のりの合計で等式→60x+100y=1640
時間の合計で等式→x+y=22
④…60x+100y ⑤…x+y

(ウ)
前問の連立を解く。
60x+100y=1640
x+y=22
これを解くと、x=14、y=8
xは歩いた時間、歩いた道のりは60x=60×14=840m
(*最初にユウがつくった連立方程式を解いても良い。
xの値がそのまま歩いた道のりになる)

(2)(ア)

3秒後はPA=3cm、QA=12-2×3=6cm
三角錘PーABQ=6×9÷2×3÷3=27cm3

(イ)
Qの速さは毎秒2cm→DQ=2xcm
QA=DA-DQ=12-2xcm

(ウ)
答案ではxについての方程式をつくり、求める過程を記述する。
PA=x、QA=12-2xを使って三角錘P-ABQの体積を求めると、
(12-2x)×9×1/2×x×1/3
=18x-3x2=24

3x2-18x+24=0 ←÷3
2-6x+8
=(x-2)(x-4
)=0
仮定より0≦x≦6だから、x=2、4
2秒後と4秒後

大問3(関数)

(1)

y=ax2にA(2、2)を代入する。
2=4a
a=1/2

(2)
B(-4、8)→A(2、2)
右に6、下に6だから、傾きは-6/6=-1
切片はAから左に2、上に2→2+2=4
y=-x+4

(3)
平行四辺形の対辺は平行かつ、長さが等しい。
A→Oは左に2、下に2。
B→Cも左に2、下に2移動してC(-6、6)

(4)(ア)
平行四辺形の対角線はおのおのの中点で交わる。
DはOBの中点だから、OD:DB=1:1

(イ)
先に△OABを求める。
底辺は切片4。高さの合計はAとBのx座標の差6。
4×6÷2=12
前問よりOD:DB=1:1だから、
△OAD=△OAB÷2=12÷2=6

(ウ)

△OADと△OPCの面積をそれぞれ③、⑦とする。
平行四辺形の対角線はその面積を4等分する
△ODC=△DBC=③→△OBC=⑥

Bの右側にPをおく。
△OPB=△OPC-△OBC=①

CB:BP=△OBC:△OPB=6:1
BCのx座標の差は2、BPの差は2×1/6=1/3
Pのx座標はBから右に1/3⇒-4+1/3=-11/3

今度はCの左側にP’を置く。
P’はCについてPと対称的な位置関係にある
P’のx座標は、-6-7/3=-25/3
-11/3、-25/3


大問4(平面図形)

(1)

直径ABに対する円周角は90°→∠ACB=90°
△ABCで三平方、AC=2√5cm

(2)
△OBC∽△DECの証明。
仮定より、∠COA=∠CDAから、∠COB=∠CDE
弧ACに対する円周角で、∠CBO=∠CED
2角相等で∽。

(3)(ア)

CHは△ABCの高さにあたる。
△ABCの面積を2通りで表すと、【AB×CH÷2=AC×CB÷2
CH=AC×CB
÷AB=2√5×4√5÷10=4cm

(イ)
対頂角で、∠DAO=∠EAO’(
半径から△OADと△O’AEは二等辺三角形で底角がで等しい。
2角相等で、△OAD(S)∽△O’AE(T)
面積比は相似比の2乗。

S:T=22:52=4:25

(ウ)

△OBCの面積は、12×4÷2=24cm2
(2)より△OBC∽△DECだから、相似比がわかれば面積比がでる。
OBに対応する辺であるDEの長さをAE=3√10cmから求められないか

前問より、△OAD∽△O’AEの相似比は②:⑤
DE=3√10×⑦/⑤=21√10/5cm
△OBC:△DECの相似比は、OB:DE=12:21√10/5=60:21√10=20:7√10
面積比は、202:(7√10)2=400:490=40:49
△DECの面積は、24×49/40=
147/5cm2

大問5(確率&規則)

(1)(ア)
スタートから11マス進む。

(イ)
最大の6+6=12マスでも折り返してC。
Aまでは戻れないから、あり得ない。
確率は0!

(ウ)
全体は、6×6=36通り
Fに止まるには5マスか9マスのいずれか。
●和が5
(1、4)(2、3)とこれらの逆で4通り。
●和が9
(3、6)(4、5)とこれらの逆で4通り。
計8通りで、確率は8/36=2/9

(エ)
Hマスに止まらない方が多いので余事象から攻める。
Hに止まるには和が7→(1、6)(2、5)(3、4)と逆を含めた6通り
確率は6/36=1/6
Hに止まらない確率は、1-1/6=5/6

(2)(ア)

正六角形は対称性がある。
うえのように正六角形を6ピースに区切って考えると、
1ピースは1枚、4枚、9枚…と平方数で増えていく
1辺3cmの場合、32×6=54枚

(イ)
1辺6cmの場合は、62×6=216枚

(ウ)
2023÷6=337…1
1ピースのあたりの枚数は、337以下の最大の平方数
18×18=324が最大の平方数だから18cm。
(*20×20=400までの平方数は覚えておこう)


前問の利用が多い印象。前半の基本問題は確実にあてる。
問1
(4)側面の扇形の中心角=360×半径/母線も覚えておきたい。
中心角が共通
→半径に応じて弧は長くなる。
半径が共通→中心角に応じて弧は長くなる。
弧(円周)が共通→半径と中心角の比は逆比
(6)描きやすい作図だが、やり方を知らないと難しいかも。
大問2
(1)道のり・速さ・時間の3要素のうち速さはわかっている。
道のりか時間に文字を割り当てる。
(2)毎秒2cm→2xcmになる!某県で正答率が悪かった。
(ウ)辺の長さをxで表して三角錐の体積を求める。
大問3
(3)このタイプは公立入試でたびたび見かける。
(4)(イ)前問の誘導を用いて、ここまでは取りたい。
(ウ)差がつく。面積比をうまく使う。
大問4
(3)(ア)差がつきそうな予感。
CHは三平方ではなく、△ABCの高さから算出する。
(ウ)相似から面積比の利用。
使っていない3√10からDEが求められないかと発想する。
比の計算も慎重に!
大問5
3・4より解きやすい。
(1)(イ)確率ゼロもあるよ!
(2)6分割が見えれば全問正解を狙える。
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