2019年度 福岡県公立高校過去問【数学】解説

平均;53.1%
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)-86.1%

(1)  97.2%
7+3×(-4)
=7-12=-5

(2)  90.9%
4(2a-3b)-(a+2b)
=8a-12b-a-2b
=7a-14b

(3)  92.2%
√45-25/√5
=3√5-5√5=-2√5

(4)  91.7%
5x-2=2(4x-7)
3x=12
x=4

(5)  89.2%
x(x-1)=3(x+4)
2-4x+12=0
(x-6)(x+2)
=0
x=-2、6

(6)  87.1%
a=xy=3×8=24
y=24/x=24/(-2)=-12

(7)  64.8%
傾きが負なので上に凸のグラフ。
原点、(2、-1)、(4、-4)が通るように放物線を描く。

(8)  72.8%
◆1年生
100人の中央値は、50人目と51人目の平均
下から計算していくと、50人目と51人目はともに〔10以上~15未満〕がある。

◆3年生
105人の中央値は、(105+1)÷2=53人目
53人目は〔5以上~10未満〕。
したがって、中央値が大きいのは1年生で、階級は〔10以上~15未満〕

(9)  88.6%
50人中、関心のある生徒は35人。
400人では、35×400/50=280人

大問2(確率)-58.5%

(1)  54.0%
全て選べ式だが、落ち着いて解けば大丈夫(‘ω’)
完全な予知はできないので、絶対にこうと断言しているものは×。
あくまでも、このような可能性があるとしか言えない。
イ・エ

(2)  60.3%
説明問題。
どちらが当たるか比べるので、AとBの確率をそれぞれ求めて比較する。
Aは1回目の玉を袋に戻すが、Bは戻さないことに注意!
◆くじ引きA◆
〔赤→白で出す〕
2/3×1/3=2/9
〔白→赤で出す〕
1/3×2/3=2/9
項をひっくり返しただけで一緒だね(‘Д’)
2/9×2=4/9
◆くじ引きB◆
3個のうち、2つの赤をとるので、2/3

大小関係を比較。
4/9<2/3なので、くじ引きBの方が当たりやすい。
公式解答では樹形図で丁寧に調べている。


大問3(文字式)-40.3%

(1)  82.3%
3a-1のaに12を放り込む。
3×12-1=35

(2)  29.4%!
説明問題。
〔最初に決めた数〕→a
〔手順通りに求めた数〕→3a-1
本問は、3a-1の値がわかっている場合、そこからaを求める。
3a-1=□
a=(□+1)÷3
1を足して、3で割ればaがでる。

(3)  23.1%!
変化球があって困惑する(;´Д`)
ある数で割るだけでaがでるということは、定数項がない
④4a-4 → ⑤A → ⑥+a+1

1つは、÷4をする。
-4を÷4すると-1となり、+1で定数項がなくなる。
(4a-4)÷4+(a+1)=2a
解答…A=④の数を4で割る、B=2

+3をしてもOK。
-4+3+1=0となる。
(4a-4)+3+(a+1)=5a
解答2…A=④の数に3を足す、B=5

大問4(数量変化)-45.4%

(1)  73.2%
表から、Aは1分間に80m進む。
9分間で、80×9=720m進むので、
2100-720=1380m

(2)  66.1%
9~23分でAは分速60mだから、これより速く歩くBは傾きが急になる→アは×
14分間でBは、75×14=1050m進む。
学校までの距離は、1700-1050=650m→イ

(3)  25.9%!
説明問題。

↑Cをグラフで表すとこんな感じ。
AとCのグラフが重なる時刻を求める。
23~29分のAは分速90mより、傾きが-90で(29、0)と通る。
一次方程式の一般式y=ax+bに代入して、切片を頑張って求める。
y=-90x+2610…①

Cは10分間で630m進む→傾き-63m
(20、630)(30、0)の点を通り、同様に式を求める。
y=-63x+1890…②

①と②を連立。x=80/3、y=210
80/3分=26・2/3分=26分40秒
スタートが7:30なので、CがAに追いつかれた時刻は7:56:40となる。

@余談@
本問は条件指定があるので使えませんが…
グラフを求めて連立で解くという高校入試テッパンの解法は、
切片と連立の処理が面倒くさい…。
式を出せればあらゆるものが出ますけど、
追いついた時間だけを求めるのであれば中学受験のやり方をオススメします。

↑グラフ上で相似を活用。
23分のC(青線)の場所を求める。
相似比から、630×7/10=441m
23分のとき、AとCの距離は、540-441=99m離れている。
Aは分速90m、Cは分速63mで同じ方向に歩くので、
1分あたり、90-63=27mずつ近づいていく。
99÷27=3・2/3=3分40秒
23分+3分40秒=26分40秒
こっちの方が計算しやすいのでミスも少なくなるかと。


大問5(平面図形)-36.1%

(1)  58.5%
AD、AEを1辺として、合同っぽい三角形を見つける。
△ADB≡△AEC

(2)  46.2%
△ADE∽△ABCの証明。

∠ABEをはさんで、∠DAE=BAC
孤ACの円周角より、∠ADE=∠ABC
2角が等しい→∽

(3)  4.3%!!
円の中心Oが図形の線上にない。
→半径4cmは正三角形ABCの一辺の長さを求めるうえで活用する。

Oは正三角形ABCの重心にある。
上のように補助線をひくと、30°-60°-90°の直角三角形が表れる。
BC=4√3

前問より、AD=AE
 
∠BAC=60°で、
∠BAC=∠BAE+●=∠DAEだから、
∠DAE=60°→△ADEは正三角形
 
弧AD:弧DB=3:1
円周角である∠ACD:∠DCBも3:1
∠ACD=60×3/4=45°
△ADC内部の角度を調査していくと、上のようになる。
△ADCは75°-60°-45°の三角形

Aから垂線を下すと、左が30°-60°-90°、右が45°-45°-90°の三角形。
AC=4√3から、1:1:√2より、2√6
左の三角形で1:2:√3を用いて、△ADCの底辺と高さがでる。
△ADC=(2√2+2√6)×2√2÷2
=12+4√3cm2
有名な角度の活用方法は覚えておきたい。

大問6(空間図形)-17.3%

(1)  41.5%
6×6×π×5+6×6×π×4×1/3
=180π+48π
=228πcm3

(2)  24.3%!
ここも基本(^^;
△ABG∽△ACFで、AB:AC=4:9
面積比は辺の比の2乗だから、
△ABG:△ACF=16:81
→16/81倍

(3)  1.6%!!!
ラスボス。変なところを求めさせられる。

MFを図示。MFを1辺とする、手頃な図形を探す。
サボはMFを対角線とする直方体が見えました(´ω`).。0
*直方体(a×b×c)の対角線→√(a2+b2+c2

問題は、∠DBE=120°をうまく使うこと!
△DBEに着目。

Eから垂線を下ろし、BEを斜辺とする直角三角形を作図する。
1:2:√3から、3と3√3がでる。

ここさえ乗り切れば、各辺の長さが求められる。
MがADの中点なので、上方の高さ(MH)は、4(AB)÷2=2
高さ・・・2+5=7cm

横の左側(MI)は、6(DB)÷2=3
右側(BJ)は先ほど求めた3なので、
横・・・3+3=6cm

奥行きJEは3√3

従って、√{72+62+(3√3)2}
=√112=4√7cm

基本問題がよくできてる◎(*’ω’*)
説明問題でなければ、グラフは中学受験式に相似で攻略した方がやりやすいんじゃないかな?
ラストの空間は、空間を斜めに横切る線分を対角線とする直方体を描いてみると、
いろいろ見えてくる場合がある。

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