2019年度 京都府立高校過去問【前期】数学解説

問題はコチラ→リセマムさん
なかなか歯ごたえがある( ̄~ ̄)
京都中期はコチラ

大問1(小問集合)

(1)
{5-(-22)}÷(3/4)2
={5-(-4)}÷9/16
=9×16/9=16

(2)
(7x-1)/5-x+2
=(7x-1-5x+10)/5
=(2x+9)/5

(3)
(3-√5)2+10/√5
=9-6√5+5+2√5
=-4√5+14

(4)
式を整理したあとに代入。
(a-2b)2-2(a-2b)-24 ←(a-2b)をラージエックスと置く。
=X2-2X-24
=(X-6)(X+4) ←元に戻す
=(a-2b-6)(a-2b+4)
={30-2×(-23)-6}{30-2×(-23)+4}
=70×80=5600

(5)
解の公式
x=〔3±√{(-3)2-4・3・(-2)}〕/2・3
=(3±√33)/6

(6)
面積比がA:B=9:1
辺(半径)の比は、A:B=3:1
4×3/1=12cm

(7)
実際に描いてみよう。グラフは上に凸になる。

原点を通ってしまうと、yの最大値が0になってしまうので、
上のようになる。
x=-2のとき、y=-8(y=-2x2に代入して確認)
x=pのとき、y=-1/18となる。
-1/18=-2p2
2=1/36
p=±1/6
p<0なので、p=-1/6

(8)
小数第2位を四捨五入したとき、3.1になる範囲。
3.05≦a<3.15
3.15は含まないことに注意!
A…ア B…ク

(9)

同位角から76°を上に移動。
=76-36=40

錯角から23とxをまとめて上にいどう。
x=180-23-40×2-36
=41°

大問2(確率)

(1)
@ルール確認@
2つのサイコロを振り。、同数だと1個だけ入れる。
異なる数は2個入れて、間の箱にも入れる。
「6個の箱すべてに玉」→1と6を出す。
(1、6)と(6、1)の2通りあるので、
1/6×1/6×2=1/18

(2)
4の箱に入れる方より、入れない方が組み合わせが少ないので、
素直に4に入れない組み合わせを考える。
〔1~3〕の世界と〔5・6〕の世界で場合分け。
・異なる数がでる。
 〔1~3〕
 (1、3)(1、2)(2、3)
 (1)と同様に各々1/18だから、1/18×3=1/6
 〔5・6〕
 (1)と同様、1/18
 計…1/6+1/18=2/9
・同じ数がでる。
 4以外で同数が5通り。
 1/6×1/6×5=5/36
よって、2/9+5/36=13/36


大問3(関数)

(1)
y=ax2より、Bの座標は(6、36a)
これが、OB;y=3/2xを通る。
36a=3/2×6
36a=9
a=1/4

(2)
y=1/4x2に代入。
A(-3、9/4) B(6、9)
この2点を通る直線の式が答え。
y=ax+bに代入。
9/4=-3a+b …①
9=6a+b …②
連立方程式を解いて、a=3/4 b=9/2

y=3/4x+9/2

(3)
まずは△OEDの作図(‘Д’)

第4象限(右下)に△OEDができる。
傾きが6/25なので、OD=㉕=25k
、OE=⑥=6kとする。
△OCA=△OEDから。
3×9/2÷2=25k×6k÷2
150k2=27/2
2=9/100
k>0より、k=3/10
㉕…25×3/10=15/2
⑥…6×3/10=9/5
D(15/2、0)E(0、-9/5)

大問4(空間図形)

(1)
三角柱じゃないよ!求めるのは三角錐ABCE。
6√2×6√2×1/2×6×1/3=72cm3

(2)
△ABCは直角二等辺なので、1:1:√2からAB=12cm

ポイントはABの中点HとCを結ぶ。
GE=√(62+32
=√45=3√5cm

上の図で△CHGと△EBGが合同(二辺と間の角が同じ)なので、
CG=EG=3√5cm

△CEGは二等辺になる。
CEは△BCEで三平方→6√3
Gから垂線を下ろし、二等辺の高さを三平方で出すと3√2
6√3×3√2×1/2=9√6cm2
三平方の処理は、なる早で( ̄人 ̄)

(3)
求める場所がどこかを把握するのが第一関門(;`ω´)

わかりやすいように半直線EC・EGをひき、間に青い斜線をひいて面Pと書きましたが、
C・E・Gを通る平面Pはこれに限らず、青い斜線の面とペタっと接する面すべてが面Pです。
(すべての面Pをヴィジュアル化するのができなかったので、便宜上三角形の形にしました…)
求める場所は、この面PとAの距離。のところ。
こんなとこ、どうやって求めるんだ(´Д`)??

三角柱の中の図形に引きなおして考える
すると、
三角錐A-CEGで底面を△CEGにしたときの高さに相当する。
△CEGの面積は前問で求めているので、三角錐A-CEGの体積がわかればいい。

ここで(1)を使う。
今度は、三角錐A-CEGの底面を△AGCで捉える。
三角錐E-ABCが72cm3
E-ABC:E-AGC(A-CEG)の体積比は、
△ABC:△AGCの面積比に相当し、
これはAB:AG=12:9=4:3と同じである。
よって、E-AGC(A-CEG)=72×3/4=54cm3
54×3÷9√6=3√6cm
求める場所は与えられた図形のなかの何にあたるか。
立体の底面は途中で視点を変える。
前問の数字をきちんと使用するので、なかなかの良問である(*’ω’*)


大問5(平面図形)

(1)
△ABDと△ACFの合同証明。


正三角形の1辺+円周角+正三角形の1つの角と錯角
=二辺と間の角が等しい。

(2)
円Oは正三角形ABCの重心…。

30-60-90〔1:2:√3〕の直角三角形から、
正三角形の1辺は18cm。
高さも求めておこう。
〔1:2:√3〕から、18×√3/2=9√3
また、重心は中線を2:1に内分することから、
6√3×3/2=9√3と出してもOK。

ACの中点をGとおく。
△BDGで三平方。
BD=√{(9√3)2+32}=√252=6√7cm

(3)

(1)の合同を手がかりに、わかるところを書いていく。
青と赤の面積比なので、中途半端なところにあるEの場所を特定したい。

△ABD∽△ECD(円周角やら対頂角やら)
EC=18×6/6√7=18/7・√7
EF=6√7-18/7・√7=24/7・√7
比にすると、CE:EF=18/7・√7:24/7・√7=3:4

△BCE=③、△BEF=④。
AF:BC=12:18=2:3を利用。
△ABF=△BCF×2/3=⑦×2/3=○14/3
したがって、四角形ABEF:△BCE
=14/3+4:3
=26/3:3
=26:9

@別解@

★は全て60°(∠CEB→円周角∠CAB→正三角形∠ACB→錯角∠CAF)。
△CDE∽△CFAから、CE=18/7・√7と算出できる。

@別解2@

△ABD∽△ECD
辺の比は、BD:CD=6√7:6=√7:1
面積比は2乗なので、△ABD=⑦、△ECD=①
(1)の合同から△ACF=⑦
四角形ADEF=⑦-①=⑥
AD:DC=2:1より、
△BCD=⑦÷2=○3.5
したがって、四角形ABEF:△BCE
=⑦+⑥:○3.5+①=26:9
これが一番クリアーかな?

大問6(規則)

(1)
慣れていないと、どこに注目をすべきか見極められず、
思考放棄したくなる:;(∩´_`∩);:
一番上をとって、2枚目を一番下にする。
問題で聞かれるのは一番上か一番下のカードなので、中は考えない。
Ⅱ図を一番上をみると、1・3・5・7…と奇数の数列となっている。
つまり、最初は奇数だけを取っていき、偶数を残す

「m=8」=8枚のカード。
カードは4枚残すので、4枚取ることになる。
奇数を順番に取ると、4枚目は7。
7を取って、次の8を一番下におく。
すると、一番上に2が現れる。
一番上…2、一番下…8

(2)
31枚で16枚を残すから、カードは15枚取る

15枚目は29のカードになる。
理由は〔1・2〕〔3・4〕…と組で考え、
30÷2=15→〔29・30〕の組合せは15組目となるから。
29をとって30を一番下に持ってくると、31が表れる。
一番上…31、一番下…30

(3)
294枚で73枚を残すから、カードは221枚を取る

同じように、奇数だけ除外。
奇数&偶数の組は、294÷2=147
残り、221-147=74枚のカードを取る。


2からスタートして、最後は294。
偶数だらけのなかで、4の倍数でないものを控除する。
気を付けるべき点は、294は4の倍数ではないということ。
〔2、〕〔6、〕・・・〔290、292
うしろの数字を÷4すれば、何組目かがでてくる。
292÷4=73組目
290が73枚目のカード。74枚目は294。
現れた4を最後にまわす。その次の8が一番上になる。
一番上…8、一番下…4
丁寧な思考過程が求められる。

空間で難しいの出してきたのに、平面も規則も容赦なさげ。
難問にぶつかったとき、
『私の隣も前も後ろもみんな解けてない(はず)!!』
と割り切って次に進むべし(σ’д’)σ
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