2018年度 東京都立高校入試【数学】解説

平均66.5点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-87.8%

(1) 94.6%
5-1/3×(-9)
=5+3=8

(2) 92.3%
8(a+b)-(4a-b)
=8a+8b-4a+b=4a+9b

(3) 80.2%
(√7+2√3)(√7-2√3) ←(a+b)(a-b)=a2-b2を利用
=(√7)2-(2√3)2

=7-12=-5

(4) 88.4%
一次方程式
4x-5=x-6
3x=-1  x=-1/3

(5) 92.4%
連立方程式
7x-y=8・・①  -9x+4y=6・・②
①より、y=7x-8
②に放り込み(ここでは代入法
-9x+4(7x-8)=6
19x=38  x=2
①に放り込み。y=7×2-8=6
x=2、y=6

(6) 91.3%
二次方程式
2+12x+35=0
(x+7)(x+5)=0
x=-7、-5

(7) 80.1%
18℃以上の日数は、5+9+4=18日
18/40→45/100→45%

(8) 87.2%
真ん中に3本目の平行線をひいて錯角

180-135=45°
x=45+70=115°

(9) 83.2%
*折り返して点が重なるということは、点からの距離が等しい線で折る。
つまり、線分PQの垂直二等分線
ここまでで配点46点(ง `ω´)ง

大問2(整数の証明)-35.8%

式をイジイジ。。
(1)イ  35.7%

*Mは正六角形の中心。Nはその1辺の中点
a、b、hを使って、正六角柱の表面積を求める。
底面積(上下)・・〔a×b×1/2×6×2〕(正六角形の面積は△ABM×6
側面積・・〔a×h×6〕
P=a×b×1/2×6×2+a×h×6
=6a(b+h) ←6aでまとめる。
よって、イ:b+h
MNさえわかれば、簡単に表面積が求められますね

(2)公式解答参照  35.9%
*まずはℓをつかわず、rとhだけで表面積Qを出してみる
その後、ℓ=2πrを指摘し、ℓ(h+r)に2πr代入。
2つの式がともに2πrh+2πr2で同じ値なので、
Q=ℓ(h+r)が導かれる。

(1)六角柱も(2)円柱も、底面積の周り×(中心からの距離+高さ)ですね。
高校物理でも式イジくり問題がでてくるので頑張って(σ’д’)σ

大問3(関数)-56.1%

(1)ウ  85.3%
*Pはy=1/2x2のグラフ上でAとBの間。
すなわち、-4≦x≦6のときのy変域を考えればいい。
x=0のとき 最小値y=0
x=6のとき 最大値y=18
よって、ウ:0≦b≦18

(2)①ア  74.9%
*点Pは原点にある。
MはP(0、0)とQ(0、12)との中点なので、M(0、6)
M(0、6)→B(6、18)は、右に6いって上に12なので、傾きは12/6=2
切片は6だから、ア:y=2x+6

②(4、8)  8.2%!
*おなじみのやり方。
求める点Pのx座標をtとおく→P(t、1/2t2
QとMのx座標もt。これらのy座標もtで表す。
直線AB。A→Bで、右に10、上に10だから傾き1。
切片は12(AとBを定規で結んでもOK)
y=x+12  → Q(t、t+12)
直線OB。O→Bで、右に6、上に18だから、
y=3x → M(t、3t)

QMPのy座標で、Q-M=M-Pとなるから、
t+12-3t=3t-1/2t2
1/2t2-5t+12=0
(t-4)(t-6)=0
問題文より、-4<t<6なので、
t=4 →PMQのx座標は4
これをy=1/2x2の式に代入して、P(4、8)



大問4(平面図形)-52.6%

(1)エ  62.6%
BCに補助線。
円周角定理により、直径に対する円周角は直角なので、∠ACB=90°
弧AC=弧BCだから、AC=CB(弦も等しい)
すると、△ACBは直角二等辺三角形であり、∠CAB=45°
△ACQで外角定理→∠AQP=a+45

(2)①公式解答参照  76.1%
△ABPと△ARPにおいて、
BP=RP
APは共通辺
円周角定理により、∠APB=90°
∠APRも90°
2辺とあいだの角が等しい→合同!

②2/3倍  19.2%!
鬼問。゚(゚´Д`゚)゚。
相似図形がいっぱいあって迷いやすい。

初期図。
四角形AOPRなので、OPに線をひいて形をつくる。

ついでにCBにも線をひく。
△ACBは直角二等辺三角形なので、∠CAQ(CAB)=45°
弧BCの中心角である∠COBが垂直なので、弧PBの中心角∠BOP=45°
∠CAQ=∠BOP(=45°)

また、弧APに対する円周角より、∠ACQ=∠OBP
2角が等しいことから、△ACQ∽△OBP

半径をOBを①とおき、辺の比から△ACQと△OBPの面積比を調べる。
△ACBは直角二等辺三角形だから、三平方からAC=○√2とわかる。
面積比は辺の比の2乗
△ACQ=□2 △OBP=□1

△ABR内で中点連結定理
△OBP=□1より、四角形AOPR=□3となり、2/3倍

ACBの直角三角形を利用して、△ACQ∽△OBPをみつけたい。
そこまでたどり着ければ、BCはいらない。
△ACQと△OBPの面積比がでて、
△OBPから中点連結定理より四角形AOPRの面積比もでる。

ムズイワ━━(#゚Д゚#)━━!!ケッ
( ゚д゚)、ペッ  ( ゚д゚)、ペッ  ( ゚д゚)、ペッ

大問5(空間図形)-17.6%

(1)60°  20.6%!
*立体内部の図形の角度は、その図形がどんな形か着目してみよう。
PがCにあるので、△BDCに注目
どの辺も9cm×9cmの正方形の対角線。
つまり、3辺が等しいので正三角形→∠BPD=60°

(2)81cm3  14.6%!
*底辺を△ABDにして考える。
高さを求めればおしまい。

高さは△FDE方向
Pは辺EF上へ垂直におろす
FE上の辺の比から、
?=9×4/6=6cm
したがって、9×9×1/2×6×1/3=81cm3

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note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
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