2023年度　山形県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）①　93.4％
１－（２－５）
＝１－（－３）
＝１＋３
＝４

②　88.9％
３/５×（１/２－２/３）
＝３/５×（－１/６）
＝－１/10

③　75.7％
－12ａｂ×（－３ａ）²÷６ａ²ｂ
＝－12ａｂ×９ａ²÷６ａ²ｂ
＝－18ａ

④　78.2％
（√７－２）（√７＋３）－√28
＝７＋３√７－２√７－６－２√７
＝１－√７

（２）　88.5％
答案では解き方も書く。
（ｘ－７）（ｘ＋２）＝－９ｘ－13
ｘ²－５ｘ－14＝－９ｘ－13
ｘ²＋４ｘ－１＝０
解の公式を適用して、ｘ＝－２±√５

（３）　75.7％
ｘ²－２ｘｙ＋ｙ²
＝（ｘ－ｙ）² ←ここで代入
＝（23－18）²
＝25

（４）　47.3％
①中央値は箱の中の線。山形市の方が大きい。〇
②四分位範囲＝第３四分位数－第１四分位数。箱の横の長さで山形市が最も大きい×
③酒田市だけ第３四分位数が21℃を下回る。×
30日の第３四分位数は上位15日の真ん中、上から８番目の値。
酒田市の21℃以上は多くても７日だが、他は少なくても８日ある。×
エ

（５）　55.1％

立面図は正面から見た図。
イだけ３ヵ所。

大問２（小問集合２）

（１）①　74.5％
Ａのｙ座標はＢと同じ２→Ａ（３、２）
これをｙ＝ａ/ｘに代入する。
ａ＝ｘｙ＝３×２＝６

②　25.9％！

Ｄ（３、６）
ｙ＝ｂｘが正方形ＡＢＣＤの辺と重なるのは、頂点Ｄ～Ｂに触れる範囲。
頂点Ｄ→ｙ＝２/７ｘ
頂点Ｂ→ｙ＝２ｘ
２/７≦ｂ≦２

（２）100％―51.4％、50-90％―19.8％、１-49％―11.5％
答案では、確率を使って理由を説明する。
白玉を２個出す確率をそれぞれ求める。
純…２/３×１/３＝２/９
友子…１/２×２/４＝１/４
２/９＞１/４なので、純の方が起こりやすい。
イ

（３）①　42.4％
商品Ｃは10箱とわかっている。
商品Ａをｘ箱、商品Ｂをｙ箱とする。
箱の数で等式。
Ａ＋Ｂ＋10＝40　…①

ドーナツとクッキーの個数で等式。
ドーナツは、８ｘ＋12×10個
クッキーは、12ｙ＋15×10個
ドーナツが50個少ないので、
８ｘ＋120＝12ｙ＋150－50　…②

②　17.7％！
前の式を整理すると、
ｘ＋ｙ＝30　…③
８ｘ－12ｙ＝－20　…④
③×８＋④をすると、20ｙ＝260
ｙ＝13
③に代入して、ｘ＝17
ドーナツの個数は、８ｘ＋120＝８×17＋120＝256個

（４）　79.0％

①∠ＢＣＤの二等分線。『直線ＢＣの上側』なのでＣの左上方向。
②∠ＢＰＤ＝１/２∠ＢＡＤ→弧ＢＤに対する円周角と中心角の関係にあたる。
中心をＡとした円Ａの円周上にＰがある。
ＡＢ＝ＡＤから半径はＡＢ（ＡＤ）。
ＡＢをグルっと１周させて円Ａを描き、①との交点がＰ。

大問３（数量変化）

（１）①　35.4％

２秒後はＢＲ＝２ｃｍ
重なっている部分は底辺２、高さ１の直角二等辺三角形。
ｙ＝２×１÷２＝１

②ア…29.6％！、イ…70.8％、ウ…35.0％、グラフ…61.3％

台形の裾の三角形は45°―45°―90°の直角二等辺三角形。
等辺の長さは、（９－５）÷２＝２ｃｍ
台形の高さは２ｃｍである。

（１）の通り、最初の重なりは直角二等辺。
ＢＲの距離がｘ、高さは１/２ｘ。
ｙ＝ｘ×１/２ｘ÷２＝１/４ｘ²
ＢＲ＝４ｃｍまで重なりは直角二等辺。０≦ｘ≦４

重なり部分が台形になる。
ｙの値が増加し、台形ＡＢＣＤと台形ＰＱＲＳが一致するｘ＝９のときに最大になる。
４≦ｘ≦９

式は表２でｙ＝２ｘ－４と提示されている。
台形を直角二等辺と平行四辺形に分けると、平行四辺形の底辺はｘ－４ｃｍ。
これが台形の上底ＡＳの長さだから、ｙ＝（ｘ－４＋ｘ）×２÷２＝２ｘ－４

表１より、ＰがＤと重なるのはｘ＝14
（右図の状態でＢＲ＝14ｃｍ）
式の出し方はいろいろある。
●方法１●
愚直に長さを求めると左図のようになる。
ＢＲ＝ｘだから、ＣＲ＝ＤＳ＝ｘ－９
ＰＤ＝５－（ｘ－９）＝－ｘ＋14
ＱＣ＝９－（ｘ－９）＝－ｘ＋18
ｙ＝（－ｘ＋14－ｘ＋18）×２÷２＝－２ｘ＋32
●方法２●
台形ＰＱＲＳの面積は、（５＋９）×２÷２＝14
ここから減少分の平行四辺形ＤＣＲＳの面積をひく。
ｙ＝14－２（ｘ－９）＝－２ｘ＋32
●方法３●（推奨）
表１を活用する。
４≦ｘ≦９のとき、ｙ＝２ｘ－４
直角二等辺に平行四辺形が追加された台形で、面積の変化の割合は２で増加した。
９≦ｘ≦14では同じような平行四辺形で面積が減少するから変化の割合は－２。
表１よりｘ＝14のときｙ＝４なので、これをｙ＝－２ｘ＋ｂに代入する。
４＝－２×14＋ｂ
ｂ＝32
ｙ＝－２ｘ＋32

まとめると、
０≦ｘ≦４、ｙ＝１/４ｘ²
４≦ｘ≦９、ｙ＝２ｘ－４
９≦ｘ≦14、ｙ＝－２ｘ＋32
グラフは（４、４）（９、14）（14、４）を通過するように描く。
ア…ｙ＝１/４ｘ²、イ…９、ウ…ｙ＝－２ｘ＋32

（２）　3.3％!!

台形ＡＢＲＳ：平行四辺形ＳＲＣＤ＝②：①
上底と下底の和の比も同様だから、ＡＳ＋ＢＲ：ＳＤ＋ＲＣ＝２：１

ＡＤ＋ＢＣ＝５＋９＝14ｃｍ
ＳＤ＋ＲＣ＝14×１/３＝14/３ｃｍ
平行四辺形の対辺は等しいからＳＤ＝ＲＣ
ＲＣ＝14/３÷２＝７/３ｃｍ
ＢＲ＝９－７/３＝20/３ｃｍ
ｘが最も小さい値→ＰがＤを通過する前なので、ｘ＝20/３

大問４（平面図形）

（１）100％―8.2％!!、50-99％―10.7％、１-49％―59.7％
△ＡＧＣ≡△ＣＥＤの証明。

仮定より、ＡＣ＝ＣＤ
ＡＣ//ＥＤの同位角から∠ＡＣＧ＝∠ＥＤＢ＝90°→∠ＡＣＧ＝∠ＣＤＥ
△ＡＦＣは直角三角形だから、∠ＣＡＧ（×）＝90－∠ＡＣＦ（●）
∠ＤＣＥ＝90－●＝×
１辺と両端角が等しいから合同。

（２）①　29.6％

前の合同から、ＡＣ＝ＤＣ＝10ｃｍ
ＢＤ＝15－10＝５ｃｍ
△ＥＢＤ∽△ＡＢＣより、ＥＤ＝10×５/15＝10/３ｃｍ

②　2.9％!!

ＦからＡＣに垂線、足をＨとする。
ＦＨが回転体の半径にあたる。

●＋×＝90°で角度を調べると、△ＣＦＧ∽△ＡＦＣ∽△ＡＣＧ。
辺の比は、ＧＣ：ＡＣ＝10/３：10＝１：３
ＦＧ＝①とするとＦＣ＝③、ＡＦ＝③×３＝⑨
→ＡＦ：ＦＧ＝⑨：①
△ＡＦＨ∽△ＡＧＣより、ＦＨ＝10/３×⑨/⑩＝３ｃｍ
回転体の体積は、３×３×π×10÷３＝30πｃｍ³

＠別解＠

あまり変わりませんが、△ＦＣＨも同じ相似なので、
ＨＣ＝①とすると、ＦＨ＝③、ＡＨ＝⑨となります。
ＦＨ＝10×③/⑩＝３ｃｍ