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大問1(小問集合)
(1)① 93.4%
1-(2-5)
=1-(-3)
=1+3
=4
② 88.9%
3/5×(1/2-2/3)
=3/5×(-1/6)
=-1/10
③ 75.7%
-12ab×(-3a)2÷6a2b
=-12ab×9a2÷6a2b
=-18a
④ 78.2%
(√7-2)(√7+3)-√28
=7+3√7-2√7-6-2√7
=1-√7
(2) 88.5%
答案では解き方も書く。
(x-7)(x+2)=-9x-13
x2-5x-14=-9x-13
x2+4x-1=0
解の公式を適用して、x=-2±√5
(3) 75.7%
x2-2xy+y2
=(x-y)2 ←ここで代入
=(23-18)2
=25
(4) 47.3%
①中央値は箱の中の線。山形市の方が大きい。〇
②四分位範囲=第3四分位数-第1四分位数。箱の長さで山形市が最も大きい×
③酒田市だけ第3四分位数が21℃を下回る。×
30日の第3四分位数は上位15日の真ん中、上から8番目の値。
酒田市の21℃以上は多くても7日だが、他は少なくても8日ある。×
エ
(5) 55.1%
立面図は正面から見た図。
イだけ3ヵ所。
大問2(小問集合2)
(1)① 74.5%
Aのy座標はBと同じ2→A(3、2)
これをy=a/xに代入する。
a=xy=3×2=6
② 25.9%!
D(3、6)
y=bxが正方形ABCDの辺と重なるのは、頂点D~Bに触れる範囲。
頂点D→y=2/7x
頂点B→y=2x
2/7≦b≦2
(2)100%―51.4%、50-90%―19.8%、1-49%―11.5%
答案では、確率を使って理由を説明する。
白玉を2個出す確率をそれぞれ求める。
純…2/3×1/3=2/9
友子…1/2×2/4=1/4
2/9>1/4なので、純の方が起こりやすい。
イ
(3)① 42.4%
商品Cは10箱とわかっている。
商品Aをx箱、商品Bをy箱とする。
箱の数で等式。
A+B+10=40 …①
ドーナツとクッキーの個数で等式。
ドーナツは、8x+12×10個
クッキーは、12y+15×10個
ドーナツが50個少ないので、
8x+120=12y+150-50 …②
② 17.7%!
前の式を整理すると、
x+y=30 …③
8x-12y=-20 …④
③×8+④をすると、20y=260
y=13
③に代入して、x=17
ドーナツの個数は、8x+120=8×17+120=256個
(4) 79.0%
①∠BCDの二等分線。『直線BCの上側』なのでCの左上。
②∠BPD=1/2∠BAD→弧BDに対する円周角と中心角の関係にあたる。
中心をAとした円Aの円周上にPがある。
AB=ADから半径はAB(AD)
ABをグルっと1周させて円Aを描き、①との交点がP。
大問3(数量変化)
(1)① 35.4%
2秒後はBR=2cm
重なっている部分は底辺2、高さ1の直角二等辺三角形。
y=2×1÷2=1
②ア…29.6%!、イ…70.8%、ウ…35.0%、グラフ…61.3%
台形の裾の三角形は45°―45°―90°の直角二等辺三角形。
等辺の長さは、(9-5)÷2=2cm
台形の高さは2cmである。
(1)の通り、最初の重なりは直角二等辺。
BRの距離がx、高さは1/2x。
y=x×1/2x÷2=1/4x2
BR=4cmまで重なりは直角二等辺。0≦x≦4
重なり部分が台形になる。
yの値が増加し、台形ABCDと台形PQRSが一致するx=9のときに最大になる。
4≦x≦9
式は表2でy=2x-4と提示されている。
台形を直角二等辺と平行四辺形に分けると、平行四辺形の底辺はx-4cm。
これが台形の上底ASの長さだから、y=(x-4+x)×2÷2=2x-4
表1より、PがDと重なるのはx=14
(右図の状態でBR=14cm)
式の出し方はいろいろある。
●方法1●
愚直に長さを求めると左図のようになる。
BR=xだから、CR=DS=x-9
PD=5-(x-9)=-x+14
QC=9-(x-9)=-x+18
y=(-x+14-x+18)×2÷2=-2x+32
●方法2●
台形PQRSの面積は、(5+9)×2÷2=14
ここから減少分の平行四辺形DCRSの面積をひく。
y=14-2(x-9)=-2x+32
●方法3●(推奨)
表1を活用する。
4≦x≦9のとき、y=2x-4
直角二等辺に平行四辺形が追加された台形で、面積の変化の割合は2で増加した。
9≦x≦14では同じような平行四辺形で面積が減少するから変化の割合は-2。
表1よりx=14のときy=4なので、これをy=-2x+bに代入する。
4=-2×14+b
b=32
y=-2x+32
まとめると、
0≦x≦4、y=1/4x2
4≦x≦9、y=2x-4
9≦x≦14、y=-2x+32
グラフは(4、4)(9、14)(14、4)を通過するように描く。
ア…y=1/4x2、イ…9、ウ…y=-2x+32
(2) 3.3%!!
台形ABRS:平行四辺形SRCD=②:①
上底と下底の和の比も同様だから、AS+BR:SD+RC=2:1
AD+BC=5+9=14cm
SD+RC=14×1/3=14/3cm
平行四辺形の対辺は等しいからSD=RC
RC=14/3÷2=7/3cm
BR=9-7/3=20/3cm
xが最も小さい値→PがDを通過する前なので、x=20/3
大問4(平面図形)
(1)100%―8.2%!!、50-99%―10.7%、1-49%―59.7%
△AGC≡△CEDの証明。
仮定より、AC=CD
AC//EDの同位角から∠ACG=∠EDB=90°→∠ACG=∠CDE
△AFCは直角三角形だから、∠CAG(×)=90-∠ACF(●)
∠DCE=90-●=×
1辺と両端角が等しいから合同。
(2)① 29.6%
前の合同から、AC=DC=10cm
BD=15-10=5cm
△EBD∽△ABCより、ED=10×5/15=10/3cm
② 2.9%!!
FからACに垂線、足をHとする。
FHが回転体の半径にあたる。
●+×=90°で角度を調べると、△CFG∽△AFC∽△ACG
辺の比は、GC:AC=10/3:10=1:3
FG=①とするとFC=③、AF=③×3=⑨
→AF:FG=⑨:①
△AFH∽△AGCより、FH=10/3×⑨/⑩=3cm
回転体の体積は、3×3×π×10÷3=30πcm3
@別解@
あまり変わりませんが、△FCHも同じ相似なので、
HC=①とすると、FH=③、AH=⑨となります。
FH=10×③/⑩=3cm
大問1
配点32点。
(4)箱ひげ図は判断しやすかった。
(5)いつもは面や線の空間把握だったが、今年は立面図であった。
円柱も円の直径と高さが等しければ正方形に見える。
大問2
(1)②最も傾くとD、最も緩やかだとBに触れる。
(2)各々の確率を比較して結論を述べる記述。他県でも見かける。
(3)標準レベルの方程式。
(4)∠BPD=1/2∠BAD
BとDが両端にある→弧BDの円周角と中心角に気がつきたい。
円の中心はAB=AD(半径)からAとわかる。
大問3
(1)②差が出る。
重なる部分の図形がどこで変形するのか。
アは前問と同じ直角二等辺三角形。ウはグラフから先に描くのも良い。
(2)台形の面積比=上底+下底の和の比
大問4
例年より、やや取りやすい感じがする。
(2)②右側で直角三角形の相似を使うのが良いかなと。
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