2022年度 三重県公立高校入試・後期選抜過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
8×(-7)
=-56

(2)
4/5x-2/3x
=2/15x

(3)
15xy÷5x
=3y

(4)
5(2a+b)-2(3a+4b)
=10a+5b-6a-8b
=4a-3b

(5)
(√3+2√7)(2√3-√7)
=6-√21+4√21-14
=-8+3√21

(6)
a=xy=-2×8=-16
y=-16/x

(7)
2x2+5x-2=0
解の公式を適用して、
x=(-5±√41)/4

(8)
累積相対度数は、その階級以下の度数の合計の割合。
0.80-0.65=0.15
0≦ウ≦0.15
ウ=0.15のとき、20人×0.15=3人
0≦ア≦3
ア=0、1、2、3

大問2(小問集合2)

(1)①
18人の中央値(第2四分位数;Q2)は9番目と10番目の平均。
19m



第1四分位数は下位9個の中央値(下から5番目)で15m。
第3四分位数は上位9個の中央値(上から5番目)で23m。
最小値は8m、最大値は35m。

③ⅰ
第1四分位数はAが14m、Bが15m。


図1からBの27m以上は3人とわかるが、
Aの27mは第3四分位数と最大値のあいだで詳細不明。
具体的にいうと、Aの上から5番目は23mで1番目は38m。
2~4番目はわからず、Aの27m以上は1~4人のいずれか。

(2)①
●まどか●
x+y=1200
1200mは家から駅までの道のりだから、xは歩いた道のり、yは走った道のり。
2つ目は時間で等式を立てる。
x/50+y/90=20

●かずと●
まどかがアだから、かずとはイ。
xは歩いた時間、yは走った時間。
1つ目は時間で等式→x+y=20
2つ目は道のりで等式→50x+90y=1200
A…ア、B…ケ、C…イ、D…ウ


前問の連立を解く。
●まどか●
x+y=1200 …①
x/50+y/90=20 ←これを450倍
9x+5y=9000 …②
①、②を解くと、x=750、y=450

●かずと●
x+y=20 …①
50x+90y=1200 …②
①、②を解くと、x=15、y=5
これは時間なので、速さをかけて道のりにする。
50×15=750m、90×5=450m
歩いた道のり…750m 走った道のり…450m

(3)①
aが平方数であれば、√aが整数になる。
a=1、4、9の3通り
確率は3/10。


独特な雰囲気がする。
12/aが自然数になる→aは12の約数。
【a=1、2、3、4、6、12】の6個。

確率を1/2にするにはnまでの自然数のうち、
半分は12の約数で、残りの半分は12の約数ではない

分子の約数の個数に注目する。
約数の個数を2倍したnまでに、該当する約数の個数が維持できればいい。

約数1個の場合、n=1×2=2
2までの約数は1、
2で2個だから×。
約数2個の場合、n=2×2=4
4までの約数は1、2、3、4の4個だから×。
約数3個の場合、n=3×2=6
約数は1、2、3、4、6の5個だから×。
約数4個の場合、n=4×2=8
約数は5個だから×。

約数が5個の場合、n=5×2=10
約数は5個のままだから確率は1/2。
約数が6個の場合、n=6×2=12
約数は1、2、3、4、6、12の6個のままだから確率は1/2。
したがって、n=10、12


大問3(関数)

(1)
y=1/4x2にx=-2を代入。
y=1/4×(-2)2=1
A(-2、1)

(2)
A(-2、1)⇒B(4、4)
右に6、上に3だから、傾きは3/6=1/2
Aから右に2、上に1移動して、切片は1+1=2
y=1/2x+2

(3)①

△OAB:△ABC=1:3
底辺ABが共通なので、高さの比が1:3になる
ABからOまでの距離の3倍離れ、かつx軸上にある点がC

y軸上に注目しよう。
ABの切片は2。
切片から6離れたy軸上の点をC’とすると、△ABC’の面積は△OABの3倍。
切片が-4である傾き1/2の直線をひき、等積変形でC’をx軸上に移動させる。
(0、-4)から上に4、右に8移動してC(8、0)。



AとBから垂線をおろし、x軸との交点をそれぞれE・Fとする。
×=90°で角度を調査。2角相等により、△AED∽△DFB
Dのx座標をtとする。
AE:ED=DF:FB

1:t+2=4-t:4
内項と外項の積で、(t+2)(4-t)=4
2-2t-4=0
解の公式を適用。
t>0より、t=1+√5
D(1+√5、0)

大問4(空間図形&作図)

(1)①

直方体全体の体積を1とする。
三角柱ABD—EFHの体積は1/2。
三角錐D—EFHの体積は÷3して1/6。
三角錐D—EFHと三角錐I—EFHの体積比は、1/6:1/9=③:②
体積が2/3倍だから、高さも2/3倍。
6×2/3=
4cm



EIを対角線とする直方体を作成。
1辺がa、b、cの直方体の対角線→√(a2+b2+c2

前問より三角錐の高さは直方体の2/3倍だったので、DI:IF=①:②
これを活用して2cmと3cmをだす。
EI=√(22+32+42)=√29cm

(2)

①∠OBD=90°だから、Bを通る垂線。
∠CAOが弧BCに対する円周角であることに気がつきたい。
この中心角にあたる∠COBは2倍の大きさで、
∠COBを2等分すると∠DOB=∠CAOとなる。


大問5(平面図形)

(1)
△AIH∽△HIGの証明。

誘導に従えばいい。
∠AIH=∠HIGが共通角(アルファベットは対応する順に並べる)。
弧AEに対する円周角とFH//ECの錯角より、∠AHI=∠ACE=∠HGI
2角が等しいので∽。
ア…∠AIH=∠HIG、イ…∠ACE、ウ…2組の角

(2)
△AFG≡△CEDの証明。

仮定より、AF=CE
等辺の情報はこれしかないから、この両端角に目をつける。
FH//ECの同位角で、∠AFG=∠CED(×
仮定の二等分線と弧BEに対する円周角より、∠FAG=∠ECD(
1辺と両端角が等しいので合同。

(3)①

△AFG∽△AECより、FE=6×4/2=12cm



FG:GH=2:5
△AFGの面積を②とすると、△AGHは⑤。

先ほどFEの長さを求めたので、これを有効利用できないか。
GEに補助線。△FEG=②×12/6=④

台形FECGの上底と下底から、△GEC=④×6/2=⑫

△IHG∽△IECで、GI:IC=5:6
△IEC=⑫×6/11=〇72/11
△IEC:△AGH=
〇72/11:⑤=72:55


大問1
配点13点。
オール基本問題なので迅速かつ正確にあてにいきたい。
(8)ウの範囲を不等号であらわしてみる。
大問2
(1)③ⅱ27mは第3四分位数~最大値のヒゲの中にあるので詳細は不明。
(2)かずとの方が連立は解きやすいかもしれないが、求めたいものが文字ではない。
(3)②正答率悪いと思う。
aが12の約数であるとつかむ。
nが13以上になると確率は減っていくので、わからなかったら1個ずつ調べるのも手。
大問3
(3)①CはOより3倍離れるが、ABは斜めに傾いている。
y軸上で判断するとやりやすい。
②直角三角形の●+×=90°。この角度調査は頻出だが形式がやや特殊である。
大問4
(1)①不要な部分を削っていく。底面共通だと高さの比が体積比。
(2)等しい同位角からAC//ODとなるが、半円があるから円周角と中心角を活用する。
大問5
(3)②既知の情報が上に偏るので△AGHから出発する。
前問のFEをどう使うか。台形FECGを分割すると見えやすい。
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