2022年度　三重県公立高校入試・後期選抜過去問【数学】解説

平均27.5点（前年比；－1.4点）
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大問１（小問集合）

（１）
８×（－７）
＝－56

（２）
４/５ｘ－２/３ｘ
＝２/15ｘ

（３）
15ｘｙ÷５ｘ
＝３ｙ

（４）
５（２ａ＋ｂ）－２（３ａ＋４ｂ）
＝10ａ＋５ｂ－６ａ－８ｂ
＝４ａ－３ｂ

（５）
（√３＋２√７）（２√３－√７）
＝６－√21＋４√21－14
＝－８＋３√21

（６）
ａ＝ｘｙ＝－２×８＝－16
ｙ＝－16/ｘ

（７）
２ｘ²＋５ｘ－２＝０
解の公式を適用して、
ｘ＝（－５±√41）/４

（８）
累積相対度数は、その階級以下の相対度数の合計。
0.80－0.65＝0.15
０≦ウ≦0.15
ウ＝0.15のとき、20人×0.15＝３人
０≦ア≦３
ア＝０、１、２、３

大問２（小問集合２）

（１）①
18人の中央値（第２四分位数；Ｑ2）は９番目と10番目の平均。
19ｍ

②

第１四分位数は下位９個の真ん中（下から５番目）で15ｍ。
第３四分位数は上位９個の真ん中（上から５番目）で23ｍ。
最小値は８ｍ、最大値は35ｍ。

③ⅰ
第１四分位数はＡが14ｍ、Ｂが15ｍ。
イ

ⅱ
図１からＢの27ｍ以上は３人とわかるが、
Ａの27ｍは第３四分位数と最大値のあいだで詳細不明。
具体的にいうと、Ａの上から５番目は23ｍで１番目は38ｍ。
２～４番目はわからず、Ａの27ｍ以上は１～４人のいずれか。
ウ

（２）①
●まどか●
ｘ＋ｙ＝1200
1200ｍは家から駅までの道のりだから、ｘは歩いた道のり、ｙは走った道のり。
２つ目は時間で等式を立てる。
ｘ/50＋ｙ/90＝20

●かずと●
まどかがアだから、かずとはイ。
ｘは歩いた時間、ｙは走った時間。
１つ目は時間で等式→ｘ＋ｙ＝20
２つ目は道のりで等式→50ｘ＋90ｙ＝1200
Ａ…ア、Ｂ…ケ、Ｃ…イ、Ｄ…ウ

②
前問の連立を解く。
●まどか●
ｘ＋ｙ＝1200　…①
ｘ/50＋ｙ/90＝20　←450倍
９ｘ＋５ｙ＝9000　…②
①、②を解くと、ｘ＝750、ｙ＝450

●かずと●
ｘ＋ｙ＝20　…①
50ｘ＋90ｙ＝1200　…②
①、②を解くと、ｘ＝15、ｙ＝５
これは時間なので、速さをかけて道のりにする。
50×15＝750ｍ、90×５＝450ｍ
歩いた道のり…750ｍ、走った道のり…450ｍ

（３）①
ａが平方数であれば、√ａが整数になる。
ａ＝１、４、９の３通り
確率は３/10

②
独特な雰囲気がある。
12/ａが自然数になる→ａは12の約数。
【ａ＝１、２、３、４、６、12】の６個。

確率を１/２にするにはｎまでの自然数のうち、
半分は12の約数で、残りの半分は12の約数ではない。

分子の約数の個数に注目する。
約数の個数を２倍したｎまでに、該当する約数の個数が維持できればいい。

約数１個の場合、ｎ＝１×２＝２
２までの約数は１、２で２個だから×。
約数２個の場合、ｎ＝２×２＝４
４までの約数は１、２、３、４の４個だから×。
約数３個の場合、ｎ＝３×２＝６
約数は１、２、３、４、６の５個だから×。
約数４個の場合、ｎ＝４×２＝８
約数は５個だから×。

約数が５個の場合、ｎ＝５×２＝10
約数は５個のままだから確率は１/２。
約数が６個の場合、ｎ＝６×２＝12
約数は１、２、３、４、６、12の６個のままだから確率は１/２。
したがって、ｎ＝10、12

＠余談＠
調べ上げるときは、
2n＝【２、４、６、８、10、12】
ａ＝【１、２、３、４、６、12】
と並べ、（2nまでのａ）/2n=１/２となる場合を調べるといい。

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝－２を代入。
ｙ＝１/４×（－２）²＝１
Ａ（－２、１）

（２）
Ａ（－２、１）⇒Ｂ（４、４）
右に６、上に３だから、傾きは３/６＝１/２
Ａから右に２、上に１移動して、切片は１＋１＝２
ｙ＝１/２ｘ＋２

（３）①

△ＯＡＢ：△ＡＢＣ＝１：３
底辺ＡＢが共通なので、高さの比が１：３になる。
ＡＢからＯまでの距離の３倍離れ、かつｘ軸上にある点がＣ。

ｙ軸上に注目しよう。
ＡＢの切片は２。
切片から６離れたｙ軸上の点をＣ’とすると、高さの比が１：３だから△ＡＢＣ’＝△ＯＡＢ×３
⇒切片が－４である傾き１/２の直線をひき、等積変形でＣ’をｘ軸に移動させる。
（０、－４）から上に４、右に８移動してＣ（８、０）

②

ＡとＢから垂線をおろし、ｘ軸との交点をそれぞれＥ、Ｆとする。
●＋×＝90°で角度を調査。２角相等により、△ＡＥＤ∽△ＤＦＢ
Ｄのｘ座標をｔとする。
ＡＥ：ＥＤ＝ＤＦ：ＦＢ
１：（ｔ＋２）＝（４－ｔ）：４
内項と外項の積で、（ｔ＋２）（４－ｔ）＝４
ｔ²－２ｔ－４＝０
解の公式を適用。
ｔ＞０より、ｔ＝１＋√５
Ｄ（１＋√５、０）

大問４（空間図形・作図）

（１）①

直方体全体の体積を１とする。
三角柱ＡＢＤ—ＥＦＨの体積は１/２。
三角錐Ｄ—ＥＦＨの体積は÷３して１/６。
三角錐Ｄ—ＥＦＨと三角錐Ｉ—ＥＦＨの体積比は、１/６：１/９＝③：②
底面積が同じで体積が２/３倍だから、高さも２/３倍。
６×２/３＝４ｃｍ

②

ＥＩを対角線とする直方体を作成。
１辺がａ、ｂ、ｃの直方体の対角線→√（ａ²＋ｂ²＋ｃ²）

前問より三角錐の高さは直方体の２/３倍だったので、ＤＩ：ＩＦ＝①：②
これを活用して２ｃｍと３ｃｍを求める。
ＥＩ＝√（２²＋３²＋４²）＝√29ｃｍ

（２）

①∠ＯＢＤ＝90°だから、Ｂを通る垂線。
②∠ＣＡＯが弧ＢＣに対する円周角であることに気がつきたい。
この中心角にあたる∠ＣＯＢは２倍の大きさで、
∠ＣＯＢを２等分すると∠ＤＯＢ＝∠ＣＡＯとなる。

大問５（平面図形）

（１）
△ＡＩＨ∽△ＨＩＧの証明。

誘導に従えばいい。
∠ＡＩＨ＝∠ＨＩＧが共通角。
弧ＡＥに対する円周角とＦＨ//ＥＣの錯角より、∠ＡＨＩ＝∠ＡＣＥ＝∠ＨＧＩ
２角が等しいので∽。
ア…∠ＡＩＨ＝∠ＨＩＧ、イ…∠ＡＣＥ、ウ…２組の角

（２）
△ＡＦＧ≡△ＣＥＤの証明。

仮定より、ＡＦ＝ＣＥ
等辺の情報はこれしかないから、この両端角に目をつける。
ＦＨ//ＥＣの同位角で、∠ＡＦＧ＝∠ＣＥＤ（×）
仮定の二等分線と弧ＢＥに対する円周角より、∠ＦＡＧ＝∠ＥＣＤ（●）
１辺と両端角が等しいので合同。

（３）①

△ＡＦＧ∽△ＡＥＣより、ＦＥ＝６×４/２＝12ｃｍ

②

ＦＧ：ＧＨ＝２：５
△ＡＦＧの面積を②とすると、△ＡＧＨは⑤

先ほどＦＥの長さを求めたので、これを有効利用できないか。
ＧＥに補助線。△ＦＥＧ＝②×12/６＝④

台形ＦＥＣＧの上底と下底から、△ＧＥＣ＝④×６/２＝⑫

△ＩＨＧ∽△ＩＥＣで、ＧＩ：ＩＣ＝５：６
△ＩＥＣ＝⑫×６/11＝〇72/11
△ＩＥＣ：△ＡＧＨ＝〇72/11：⑤＝72：55