2019年度　福島県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均22.6点（50点満点）

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大問１（計算）

（１）①　98.4％
（－９）×（－５）
＝45

②　93.4％
（－３/４）＋２/５
＝－７/20

③　83.4％
（－４ｘ²ｙ）÷ｘ²×２ｙ
＝－８ｙ²

④　82.7％
18/√６＋√24
＝３√６＋２√６
＝５√６

（２）　77.3％（部分正答0.2％）
反比例：ｙ＝ａ/ｘ
積が48で一定。
□＝48÷６＝８

大問２（小問集合）

（１）　79.8％（部分正答0.2％）
ｘ²－８ｘ－20
＝（ｘ＋２）（ｘ－10）

（２）　79.3％（部分正答1.4％）
『100枚では足りない』ので、配る折り紙の数は100を超える。
４ａ＋３ｂ＞100

（３）　89.3％
グラフの傾きが急であるほど、給水管の本数が多い。
傾きの度合いは、Ｃ＞Ａ＞Ｂ＝Ｄ
エ

（４）　32.0％！
円錐Ｂの底面の半径をｒ、高さをｈとおく。
円錐Ｂの体積：ｒ×ｒ×π×ｈ×１/３＝πｒ²ｈ/３
円柱Ａの体積：２ｒ×２ｒ×π×ｈ＝４πｒ²ｈ
円柱Ａ：円錐Ｂ＝４πｒ²ｈ：πｒ³ｈ/３＝12：１
よって、円柱Ａの体積は円錐Ｂの12倍。

（５）　54.1％（部分正答6.8％）
対称の軸からＡとＰは等距離にある。
対称の軸上の点（ＢとＣ）からも等距離にある。
ＢＡ、ＣＡの距離をとり、Ａと反対側にできる交点がＰとなる。

もしくは、対応するＡとＰを結んだ線分はＢＣに直交するので、
Ａを通る、ＢＣに垂直な線分を作図し、ＢＣ～Ａの距離を反対側に持ってきてもＯＫ。

大問３（確率・データの活用）

（１）①　79.1％
教科書でお馴染みなので、結果を覚えていた人がいたかも。
和が７→（１、６）（６、１）（２、５）（５、２）（３、４）（４、３）
６通り。

②　40.2％（部分正答2.0％）
２→（１、１）
３→（１、２）（２、１）
５→（１、４）（４、１）（２、３）（３、２）
７→前問より６通り。
11→（５、６）（６、５）
15/36＝５/12

（２）①　70.5％
最頻値（モード）は最も度数の多い階級。
階級値は階級の真ん中の値。
210と220の間の数⇒215ｃｍ

②　39.3％（部分正答28.0％）
『220ｃｍ以上の生徒の割合』⇒220ｃｍ以上の相対度数を求める。
１組男子…６÷16＝0.375
３学年男子…33÷75＝0.44
１組男子の方が220ｃｍ以上の相対度数が小さいので、
１組に記録の高い生徒が多いとはいえない。
イ

大問４（方程式）

6.1％!!（部分正答10.7％）
説明込み。
単品ノート…ｘ冊、単品消しゴム…ｙ個
セットＡのノート…３ｘ－１冊
セットＢの消しゴム…２ｙ個

セットＡでノートは１冊なので、セットＡで売れたノートの冊数とセットＡの売れたセット数が同じになる。すなわち、セットＡは３ｘ－１セット売れた。
同様に、セットＢでは消しゴムは１個なので、セットＢで売れた消しゴムの個数と同じ、
セットＢは２ｙセットが売れたことになる。

『ノートは全部で41冊売れた』…単品＋セットＡ＋セットＢのノートの合計が41冊。
ｘ＋（３ｘ－１）＋３×２ｙ＝41
２ｘ＋３ｙ＝21…①

『売り上げの合計は5640円』…４つの商品すべての合計。
120ｘ＋60ｙ＋160（３ｘ－１）＋370×２ｙ＝5640
３ｘ＋４ｙ＝29…②

①、②より、ｘ＝３、ｙ＝５
単品ノート…３冊、単品消しゴム…５個

大問５（平面図形）

（１）　15.5％！（部分正答17.3％）
∠ＡＦＤ＝∠ＡＤＦの証明。
角度の問題だが、わざわざＣＤ＝ＥＦとあるので、
ここを１辺とする三角形の合同を経由する。
〔公式解答：例２〕
△ＡＣＦと△ＡＥＤに注目。

仮定より、ＣＤ＝ＥＦ
ＣＢ//ＡＥで錯角が等しい。（∠ＥＣＢ＝ＣＥＡ）
すると、△ＡＣＥが二等辺となる。
ＡＣ＝ＡＥ
２辺と間の角が等しい⇒△ＡＣＦ≡△ＡＥＤ

対応する辺であるＡＤ＝ＡＦとなる。
△ＡＤＦが二等辺だから、底角の∠ＡＦＤ＝∠ＡＤＦが導ける。

〔公式解答：例１〕
△ＡＣＦと△ＡＥＤに注目。

ＣＦ＝ＣＤ＋ＤＦ
ＥＤ＝ＥＦ＋ＦＤ
ここから、ＣＦ＝ＥＤ
あとは先ほどと同様の流れ。

（２）　8.0％!!
等角をどこまで認定できるか。

出発は∠ＡＣＢの二等分線から。
∠ＥＣＡ＝∠ＥＣＢ＝●とおいて調査する。
∠ＦＣＡ＝∠ＦＡＥは接弦定理。
平行線から錯角、前問の合同。
さらに、外角定理から∠ＣＦＡ＝●●、円周角へ結ぶ。
すると、△ＡＢＣの内角が●×５となる。
∠ＡＢＣ＝180×２/５＝72°

＠別解＠

∠ＡＣＢ●●を錯角で降ろし、接弦定理で∠ＡＢＣへ。
どのみち接弦定理は必要かと思われる。

大問６（関数）

（１）　53.2％
ｙ＝ｘ²に代入して座標を求める。
Ａ（－３、９）⇒Ｂ（－１、１）
右に２、下に－８だから、傾きは－４。

（２）①　34.3％（部分正答1.6％）
Ｃ（２、４）
直線ℓの傾きは前問で－４と求めたので、
直線ｍはＣ（２、４）を通り、傾き－４。
４＝２×（－４）＋ｂ
ｂ＝12
ｍ：ｙ＝－４ｘ＋12

Ｄはこの式の切片だから、（０、12）

欲しい情報は、ＢＣの切片。
ＢＣの傾きは、右に３、上に３で１。
切片はＢから右１、上１なので、（０、２）
△ＢＣＤ＝（12－２）×３÷２＝15

②　0.7％!!!
ＡＢ//ＤＣで、Ａ－Ｂ間とＤ－Ｃ間のｘ座標は各々２ずつ離れている。

１組の辺の長さが等しく、かつ平行なので、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形となる。
（ＡＤ、ＢＣの傾きは共に１で平行）
平行四辺形ＡＢＣＤの面積は30。
四角形ＢＰＣＱの面積は、30×１/５＝６になればいい。

Ｐのｘ座標をｔとするので、Ｐ（ｔ、ｔ²）
Ｑは前問で使った直線ｍに代入。Ｑ（ｔ、－４ｔ＋12）

４つの座標の位置を確認。外側に長方形を作成する。
四角形ＢＰＣＱが６なので、長方形の面積は12となる。

長方形の横は２、縦はＱのｙ座標－Ｐのｙ座標から－ｔ²－４ｔ＋12。
３（－ｔ²－４ｔ＋12）＝12
－３ｔ²－12ｔ＋24＝０
ｔ²＋４ｔ－８＝０
因数分解ができないので、解の公式。
ｔ＝－２±２√３
０＜ｔ＜２より、ｔ＝－２＋２√３

大問７（空間図形）

（１）　69.5％
ＡＢ＝12、ＢＭ＝６
△ＡＢＭで三平方（１：２：√３）→ＡＭ＝６√３

（２）①　8.2％!!
新しい点が次々と追加されて、頭が混乱しやすい。
ＡＥとＥＤの和が最も小さくなる→展開図に直して直線。

↑位置関係はこんな感じ。

Ｄを通る、ＯＡに平行な線分を作成。ＯＭとの交点をＮとする。
△ＯＤＮ∽△ＯＣＭより、
ＤＮ＝６÷２＝３

△ＯＡＲ∽△ＤＮＲより、
ＯＲ：ＲＮ＝ＯＡ：ＤＮ＝12：３＝４：１
ＮはＯＭの中点⇒ＯＲ：ＲＭ＝４：６＝２：３

②　0.0％!!!
三角錐ＱＢＰＣを作図する。

最終的に体積を求めるので、全体（正三角錐ＯＡＢＣ）からの割合を出す。

三角錐ＱＰＢＣの底面積を△ＰＢＣとする。
△ＡＢＣ：△ＰＢＣは底辺ＢＣを共通とするので、２つの面積比は高さの比９：４と等しい。

三角錐ＱＰＢＣの高さの比となる、ＯＱ：ＱＰが知りたい。
そこでＱの位置を確認する。Ｑは面ＡＤＥとＯＰとの交点。
ここでＲの位置に注目しよう。
Ｒも面ＡＤＥ上にあるので、同じ面にＡとＱとＲがある。
また、ＱはＯＰ上にあり、ＯＰは△ＯＡＭ上にある。
ＲはＯＭ上にあるので、ＱとＲは△ＯＡＭ上にある。
ということは、面ＡＤＥと△ＯＡＭが交差する一直線上にＡ・Ｑ・Ｒがある。

△ＯＡＭで考える。
メネラウスの定理から、
ＯＱ/ＱＰ×４/９×３/２＝１
ＯＱ：ＱＰ＝３：２

全体の体積（正三角錐ＯＡＢＣ）を求める。

高さが厄介(;´Д｀)
Ｏから△ＡＢＣ（底面）に向けて垂線をひき、交点をＧとおく。
ＧＭ＝ｘとおいて、ＡＧ＝6√２－ｘ。
三平方で、ＡＯ²－ＡＧ²＝ＯＭ²－ＧＭ²としてもよいが、
正三角錐の場合はＧが底面の重心を通るので、ＡＧ：ＧＭ＝２：１。
ＧＭ＝2√２
△ＯＧＭで三平方→ＯＧ＝４√６

三角錐ＱＰＢＣ＝12×６√２×１/２×４√６×１/３（ＯＡＢＣ）×５/９（底面積）×２/５（高さ）
＝32√２ｃｍ³
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