2019年度 福島県公立高校入試問題【数学】解説

平均22.6点(50点満点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(計算)

(1)①
(-9)×(-5)
=45


(-3/4)+2/5
=-7/20


(-4x2y)÷x2×2y
=-8y2


18/√6+√24
=3√6+2√6
=5√6

2)
反比例:y=a/x
積が48で一定。
□=48÷6=8

大問2(小問集合)

(1)
2-8x-20
=(x+2)(x-10)

(2)
『100枚では足りない』ので、配る折り紙の数は100を超える。
4a+3b>100

(3)
グラフの傾きが急であるほど、給水管の本数が多い。
傾きの度合いは、C>A>B=D

(4)
円錐Bの底面の半径をr、高さをhとおく。
円錐Bの体積:r×r×π×h×1/3=πr2h/3
円柱Aの体積:2r×2r×π×h=4πr2
円柱A:円錐B=4πr2h:πr3h/3=12:1
よって、円柱Aの体積は円錐Bの
12倍。

(5)
対称の軸からAとPは等距離にある。
対称の軸上の点(BとC)からも等距離にある
BA、CAの距離をとり、Aと反対側にできる交点がPとなる。

もしくは、対応するAとPを結んだ線分はBCに直交するので、
Aを通る、BCに垂直な線分を作図し、BC~Aの距離を反対側に持ってきてもOK。

大問3(確率&標本調査)

(1)①
教科書でお馴染みなので、結果を覚えていた人がいたかも。。
和が7→(1、6)(6、1)(2、5)(5、2)(3、4)(4、3)
6通り。


2→(1、1)
3→(1、2)(2、1)
5→(1、4
)(4、1)(2、3)(3、2)
7→前問より6通り。
11→(5、6)(6、5)
15/36=5/12

(2)①
最頻値(モード)は最も度数の多い階級。
階級値は階級の真ん中の値。
210と220の間の数⇒215cm


『220cm以上の生徒の割合』⇒220cm以上の相対度数を求める。
1組男子…6÷16=0.375
3学年男子…33÷75=0.44
1組男子の方が220cm以上の相対度数が小さいので、
1組に記録の高い生徒が多いとはいえない。


大問4(方程式)

説明込み。
ノートと消しゴムと2つの要素があるので、
なんとなく連立だろうと想像する。

単品ノート…x冊、単品消しゴム…y個
セットAのノート…3x-1冊
セットBの消しゴム…2y個

セットAでノートは1冊なので、セットAで売れたノートの冊数とセットAの売れたセット数が同じになる。すなわち、セットAは3x-1セット売れた
同様に、セットBでは消しゴムは1個なので、セットBで売れた消しゴムの個数と同じ、
セットBは2yセットが売れたことになる。

『ノートは全部で41冊売れた』…単品+セットA+セットBのノートの合計が41冊。
x+(3x-1)+3×2y=41
2x+3y=21…①

『売り上げの合計は5640円』…4つの商品すべての合計。
120x+60y+160(3x-1)+370×2y=5640
3x+4y=29…②

①、②より、x=3、y=5
単品ノート…3冊、単品消しゴム…5個

大問5(平面図形)

(1)
∠AFD=∠ADFの証明。
角度の問題だが、わざわざCD=EFとあるので、
ここを1辺とする三角形の合同を経由する
〔公式解答:例2〕
△ACFと△AEDに注目。

仮定より、CD=EF
CB//AEで錯角が等しい。(∠ECB=CEA)
すると、△ACEが二等辺となる。
AC=AE
2辺と間の角が等しい⇒△ACF≡△AED

対応する辺であるAD=AFとなる。
△ADFが二等辺だから、底角の∠AFD=∠ADFが導ける。

〔公式解答:例1〕
△ACFと△AEDに注目。

CF=CD+DF
ED=EF+FD
ここから、CF=ED
あとは先ほどと同様の流れ。

(2)
等角をどこまで認定できるか(ノ)`ω´(ヾ)

出発は∠ACBの二等分線から。
∠ECA=∠ECB=とおいて調査する。
∠FCA=∠FAEは接弦定理
平行線から錯角、前問の合同。
さらに、外角定理から∠CFA=●●、円周角へ結ぶ。
すると、△ABCの内角が×5となる。
∠ABC=180×2/5=72°

@別解@

∠ACB●●を錯角で降ろし、接弦定理で∠ABCへ。
どのみち接弦定理は必要かと思われる。


大問6(関数)

(1)
y=x2に代入して座標を求める。
A(-3、9)⇒B(-1、1)
右に2、下に-8だから、傾きは-4。

(2)①
C(2、4)
直線ℓの傾きは前問で-4と求めたので、
直線mはC(2、4)を通り、傾き-4。
4=2×(-4)+b
b=12
m:y=-4x+12

Dはこの式の切片だから、(0、12)

欲しい情報は、BCの切片。
BCの傾きは、右に3、上に3で1。
切片はBから右1、上1なので、(0、2)

△BCD=(12-2)×3÷2=15


AB//DCで、A-B間とD-C間のx座標は各々2ずつ離れている。

1組の辺の長さが等しく、かつ平行なので、四角形ABCDは平行四辺形となる。
(AD、BCの傾きは共に1で平行)
平行四辺形ABCDの面積は30。
四角形BPCQの面積は、30×1/5=6になればいい。

Pのx座標をtとするので、P(t、t2
Qは前問で使った直線mに代入。Q(t、-4t+12)

4つの座標の位置を確認。外側に長方形を作成する。
四角形BPCQが6なので、長方形の面積は12となる。

長方形の横は2、縦はQのy座標-Pのy座標から-t2-4t+12。
3(-t2-4t+12)=12
-3t2-12t+24=0
2+4t-8=0
因数分解ができないので、解の公式。
t=-2±2√3
0<t<2より、t=-2+2√3

大問7(空間図形)

(1)
AB=12、BM=6
△ABMで三平方(1:2:√3)→AM=6√3

(2)①
新しい点が次々と追加されて、頭が混乱しやすい(´・д・`)
AEとEDの和が最も小さくなる→展開図に直して直線。

↑位置関係はこんな感じ。

Dを通る、OAに平行な線分を作成。OMとの交点をNとする。
△ODN∽△OCMより、
DN=6÷2=3

△OAR∽△DNRより、
OR:RN=OA:DN=12:3=4:1
NはOMの中点⇒
OR:RM=4:6=2:3


三角錐QBPCを作図する。

最終的に体積を求めるので、全体(正三角錐OABC)からの割合を出す。

三角錐QPBCの底面積を△PBCとする。
△ABC:△PBCは底辺BCを共通とするので、2つの面積比は高さの比9:4と等しい。

三角錐QPBCの高さの比となる、OQ:QPが知りたい。
そこでQの位置を確認する。
Qは面ADEとOPとの交点。
ここでRの位置に注目しよう。
Rも面ADE上にあるので、同じ面にAとQとRがある。
また、QはOP上にあり、OPは△OAM上にある。
RはOM上にあるので、QとRは△OAM上にある。
ということは、面ADEと△OAMが交差する一直線上にA・Q・Rがある

△OAMで考える。
メネラウスの定理から、
OQ/QP×4/9×3/2=1
OQ:QP=3:2

全体の体積(正三角錐OABC)を求める。

高さが厄介(;´Д`)
Oから△ABC(底面)に向けて垂線をひき、交点をGとおく。
GM=xとおいて、AG=6√2-x。
三平方で、AO2-AG2=OM2-GM2としてもよいが、
正三角錐の場合はGが底面の重心を通るので、AG:GM=2:1。
GM=2√2
△OGMで三平方→OG=4√6

三角錐QPBC=12×6√2×1/2×4√6×1/3(OABC)×5/9(底面積)×2/5(高さ)
=32√2cm3

8割取れた人が、たったの0.1%!
後半3題のうしろの小問はどこもやりづらい。
問題数が多いのだから、空間立体のラストは、
体積ではなく体積比で良かったのでは?(#‐∀‐)
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