2023年度 群馬県公立高校入試過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)①
2-(-4)
=2+4
=6


6a2×1/3a
=2a3


-2(3x-y)+2x
=-6x+2y+2x
-4x+2y

(2)①
6x-1=4x-9
2x=-8
x=-4


2+5x+3=0
解の公式を適用して、x=(-5±√13)/2

(3)
絶対値…数直線上で原点0との距離。
分数は小数に直すと絶対値は、ア:3、イ:5、ウ:2.5、エ:2.1。
絶対値が最も小さいのはエ。

(4)
y=ax2に(-2、-12)を代入。
-12=4a
a=-3

(5)

同位角で38°をおろす。
180-72=108°
外角定理で、x=108+38=146°

(6)
答案には求める過程も記述する。
2-4a+4
=(a-2)2 ←ここで代入。
={(2+√5)-2}2
=5

(7)
1枚目のカードは戻さない。33や44は無い
32以上は32・34・41・42・43の5通り。
2枚のカードを引く場合の数は、4×3=12通り
確率は5/1
2

(8)

ABを立方体の高さにおいて組み立ててみる。
ABは天井のアと底面のカに対して垂直になる。
ア・カ

(9)
ア:最小値は35回。最小値が複数人の場合もある。×
イ:最大値は95回。〇
ウ:平均値を×印などで示す箱ひげ図もあるが、本問にはないので不明。×
 57回は中央値(第2四分位数)である。
エ:15人の中央値は8番目の値で57回。
 60回以下は少なくとも8人いるが、9人いるとは確実にいえない。×
 上から7番目(下から9番目)
が61回かもしれない。
オ:15人の第1四分位数は上位7人の真ん中、上から4番目。
 第1四分位数が66回あたりなので、少なくとも4人以上は60回以上である。〇
イ・オ

大問2(関数)

(1)①
一次関数;y=ax+bの変化の割合は傾きaで一定


y=ax2は変化の割合が一定ではない。
×

(2)

ア:y軸について対称→左右対称。反比例は原点について点対称。
イ:反比例はx軸にもy軸にも交わらない。
ウ:x=1を代入してyの値を求める。
エ:反比例だけ減少。
イ・エ


大問3(規則)

(1)
a、5、b…を1周とする。
20÷3=6…2
20番目は6周+2。余り2だから5。

(2)
答案では求める過程も書く。
7÷3=2周…1
2(a+5+b)+a=18
3a+2b=8 …①

50÷3=16周…2
16(a+5+b)+a+5=121
17a+16b=36 …②

①と②の連立を解いて、
a=4、b=-2

大問4(平面図形)

(1)
△ABD≡△CDBの証明。

平行四辺形の対辺+共通辺→3辺
平行四辺形の対辺+対角→2辺夾角
2つの錯角+共通辺→1辺両端角

(2)
事柄の逆が成り立たない、反例となる図形を作図する。

△ABDと△CBDは3辺が等しく合同であるが、四角形ABCDは平行四辺形ではない。
BDに対して線対称な図形をつくればいい

@逆・裏・対偶@

『pであるならば、qである』という命題に対して、
『qであるならば、pである』をといい、
『pでないならば、qではない』をという。(pやqの上に ̄がつく)
逆や裏は必ずしも真とは限らない
『qでないならば、pではない』を対偶といい、
元の命題(p⇒q)が真ならば、対偶は必ず真である

たとえば、【4の倍数であれば、2の倍数である】という真の命題に対して、
逆【2の倍数であれば、4の倍数である】、
裏【4の倍数でなければ、2の倍数でない】は反例があるので偽である。
(6や10は4の倍数ではない2の倍数)
一方で、対偶【2の倍数でなければ、4の倍数でない】は真である。


大問5(数量変化)

(1)
y=1/4x2にx=6を代入。
y=1/4×36=
9m

(2)

2つのグラフで上にくる方がP地点から遠くにいる=前を走っている
和也のグラフが電車より上にあるのは
イ。


y=0がP地点。
Q地点は和也のグラフを下に延長させた切片
電車に追い越される10秒後まで、和也は10/3×10=100/3m走った。
電車の移動距離は25m(P地点から25m地点)だから、PQの距離は100/3-25=25/3m


和也がP地点を走っていたときの和也と電車との距離、
すなわち、和也がy=0のときの電車のy座標を求めればいい

和也がP地点に着いた時間は、25/3m÷秒速10/3m=5/2秒
y=1/4x2にx=5/2を代入。
y=1/4×25/4=
25/16m

大問6(平面図形)

(1)
∠AOD=1/2∠EOFの証明。

半径よりCO=CD→△CODは二等辺三角形。
∠EDF=∠AOD …①
∠EDFは弧EFの円周角で、円周角は中心角の半分だから、
∠EDF=1/2∠EOF …②
①、②から∠AOD=1/2∠EOF

ア…二等辺、イ…AOD,ウ…中心

(2)①

∠EDF=とする。
△CODは二等辺で、外角定理から∠OCF=●●

半径よりOD=OFで、△ODFも二等辺三角形
∠OFD=
△OCFで外角定理→∠BOF=●●●=90°
∠EDF()=90÷3=30°



前図の=30°から、△OCFの内角は30°ー60°ー90°の直角三角形
辺の比は1:2:√3だから、CO=6×1/√3=
2√3cm



曲線DD’を対処するために、これを弧とする扇形ODD’は必ず拾い上げなくてはならない
①の図から∠DOC()=30°
小円の中心Cは大円の直径AB上にある→AOを対称の軸として上下対称
∠DOD’=30×2=60°
扇形ODD’の面積は、6×6×π×1/6=6πcm2

上図の部分から先ほどの扇形ODD’を引けば、求積すべき図形の面積が求まる。
∠DCD’はブーメランの3つの角の和で、30+60+60=120°
小円の半径は2√3cmだから、扇形CDD’の面積は2√3×2√3×π×1/3=4πcm2

四角形ODCD’の面積を求める。
Dから垂線をひき、AOの交点をEとすると、△DECの辺の比は1:2:√3
DE=2√3×√3/2=3cm
△DCOは底辺CO=2√3cm、高さDE=3cmで、△D’COと合同だから、
四角形ODCD’の面積は、2√3×3÷2×2=6√3cm2
よって、求積すべき図形の面積は、(4π+6√3)-6π=6√3-2πcm2

@@

東京工業大学附属科学技術高校でこんな構図がでました(;´∀`)

2022年度 東京工業大学附属科学技術高校過去問【数学】大問5解説

余力のある方は挑戦してみてください。


大問1
配点が40点もある。稼ぎどころ。
(7)カードを戻すか戻さないかをチェック。戻さないのでゾロ目はない。
(8)ABと高さにする。カを底面、イウエオを側面、アを天井として組み立てる。
大問2
問題の形式が面白い。内容は基本レベル。
大問3
(2)基礎的な規則の問題だが、丁寧な立式が求められた。
大問4
平面と論理形式(逆)の融合だが、設問は解答しやすい。
(2)平行四辺形(図Ⅰ)以外の合同図形をつくる。線対称を想起。
大問5
②グラフでどこかPQ間の距離になるか。
和也の移動距離-電車の移動距離(25m)で求まる。
③ここもグラフのどこを指すかを明確にする。
2問とも計算処理は複雑ではなかった。
大問6
(2)①∠EDFを何かの記号か文字に置き換えておく。
②①ができれば、ほぼ正答できる。
③群馬によくでてくる形式。まず、DD’を弧とする扇形を捉える。
(求める部分+扇形ODD’)-扇形ODD’=求める部分
合わせた図形を別の図形で分割する。有名三角形を利用する。

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