2021年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問1解説

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(1)
連立方程式

の解をx=m、y=nとするとき、2m-n=1が成り立つ。
このとき、aの値を求めよ。

(2)
2次方程式x2+x-1=0の大きい方の解をa、小さい方の解をbとする。
このとき、の値を求めよ。

(3)
2つの文字a、bを左から何文字か並べる。
ただし、同じ文字を何回使ってもよいが、aの次は必ずbを並べ、
bの次はどちらの文字を並べてもよいものとする。
例えば、3文字を並べるとき、aba、abb、bab、bba、bbb
の5通りの並べ方がある。
5文字を並べるとき、何通りの並べ方があるか。

(4)
1つのさいころを3回投げるとき、
出た目の最大値が3で最小値が1になる確率を求めよ。

(5)

図のように、1辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺BCの中点をMとする。
辺AB上を動く点をPとし、Bから直線PMに垂線BQを引く。
ただし、点PがBと一致するときは点QがBと一致することにする。
PがAからBまで動くとき、線分BQが通過した部分で、
正三角形ABCDの内部にある部分の面積を求めよ。


@解説@
(1)

『この解をx=m、y=nとするとき、2m-n=1が成り立つ』。
xをm、yをnに変換する。

8m-n=5 …①
am+5n=7 …②
2m-n=1 …③

①と③で連立を組む。
m=2/3、n=1/3

②に放り込む。
2/3a+5/3=7
a=8

(2)
2+x-1=0
解の公式を適用して、a=(-1+√5)/2、b=(-1-√5)/2

この手の問題は、解の和と積の形にしてから代入を試みる
a+b=(-1+√5-1-√5)/2=-1

↑マイナスでくくって和と差の積にしている。

これをどうにかしてa+b、abの形にしたいが難しい(;´・ω・)

2+x-1=0
これを(a+1)2や(b+1)2のように(x+1)2=〇に変えられないものか??

2+x-1=0
2=-x+1

(x+1)2
=x2+2x+1 ←先のx2=-x+1を代入
=(-x+1)+2x+1
x+2

xの解であるa、bにも同じ形を適用。
(a+1)2=a+2
(b+1)2=b+2

(3)
条件のないbの数で場合分けする。
◆bが0個
例題ではbbbもカウントしている。1通り。

◆bが1個
例題にbbaがあるので、aは右端でもOK。
bはどこでも良いから5通り。

◆bが2個

aの次にaを置かない。6通り

◆bが3個

これしかない1通り。
合計して13通り。

@別解@
某フォロワーさんより、算数によくある漸化式という気になるワードを耳にし、
あれこれ考えてみました。
◆1文字の場合
a、bの2通り
◆2文字の場合
ab、ba、bbの3通り
◆3文字
問題文より5通り・・

【2、3、5…】とくればフィボナッチじゃありませんか!⊂( ・∀・) 彡 =͟͟͞͞(✹)`Д´)
4文字なら3+5=8通り
5文字なら5+8=13通り
6文字なら8+13=21通りです。

なぜ、フィボナッチになるのか?という点ですが、

左端がbの場合、1個前のaとbの合計と同じになる。
たとえば、4文字のbだと右側の【〇〇〇】は3文字の5通りである。
また、左端がaの場合、1個前のbと同じになる
たとえば、4文字のaだと右側は【b〇〇】の並びとなり、
3文字の【b〇〇】の3通りと等しく、これは2文字の3通りである。
このように、1個前の項(左端b)と2個前の項(左端a)の和が連なる数列となる。

(4)
『最小値1、最大値3』ということは、1と3は必ず出す
残り1つは1~3のどれか。
(1、1、3)⇒3通り
(1、2、3)⇒6通り
(1、3、3)⇒3通り
合計12通り。
確率は、12÷(6×6×6)=1/18

(5)
図形の移動は附設で狙われている。(2020年度久留米大学付設高校大問4

PがAにあるとき、AM⊥BCよりQはMと重なる
3つのをQは通過する。

いっぱい増やしてみました。なんとなく半円に見える

∠BQM=90°が維持されることから、円周角の定理を想起する。
∠BQMは直径BMに対する円周角、
すなわち、点Qの軌跡は直径をBMとする円の円周(半円)である。

QがAB上にくる状態を描いて、求積すべき範囲を確定する。

半円の中心をOとしてOQを結ぶ。
半径1cm・中心角120°の扇形と、1辺1cmの正三角形を足せばいい
1×1×π×1/3+1×√3/2×1/2
=π/3+√3/4cm2
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