スポンサーリンク

2021年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問1解説

問題PDF
(1)
連立方程式

の解をx=m、y=nとするとき、2m-n=1が成り立つ。
このとき、aの値を求めよ。

(2)
2次方程式x2+x-1=0の大きい方の解をa、小さい方の解をbとする。
このとき、の値を求めよ。

(3)
2つの文字a、bを左から何文字か並べる。
ただし、同じ文字を何回使ってもよいが、aの次は必ずbを並べ、
bの次はどちらの文字を並べてもよいものとする。
例えば、3文字を並べるとき、aba、abb、bab、bba、bbb
の5通りの並べ方がある。
5文字を並べるとき、何通りの並べ方があるか。

(4)
1つのさいころを3回投げるとき、
出た目の最大値が3で最小値が1になる確率を求めよ。

(5)

図のように、1辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺BCの中点をMとする。
辺AB上を動く点をPとし、Bから直線PMに垂線BQを引く。
ただし、点PがBと一致するときは点QがBと一致することにする。
PがAからBまで動くとき、線分BQが通過した部分で、
正三角形ABCDの内部にある部分の面積を求めよ。


@解説@
(1)

『この解をx=m、y=nとするとき、2m-n=1が成り立つ』
xをm、yをnに変換する。

8m-n=5 …①
am+5n=7 …②
2m-n=1 …③

①と③で連立を組む。
m=2/3、n=1/3

②に放り込む。
2/3a+5/3=7
a=8

(2)
2+x-1=0
解の公式を適用して、a=(-1+√5)/2、b=(-1-√5)/2

解の和と積の形にしてから代入を試みる
a+b=(-1+√5-1-√5)/2=-1

↑マイナスでくくって和と差の積にしている。

これをどうにかしてa+b、abの形にしたいが難しい(;´・ω・)

2+x-1=0
(a+1)2や(b+1)2のように(x+1)2=〇に変えられないものか
2+x-1=0
2=-x+1

(x+1)2
=x2+2x+1 ←先のx2=-x+1を代入
=(-x+1)+2x+1
x+2

xの解であるa、bにも同じ形を適用。
(a+1)2=a+2
(b+1)2=b+2

(3)
条件のないbの数で場合分けする。
◆bが0個
例題ではbbbもカウントしている。1通り。

◆bが1個
例題にbbaがあるので、aは右端でもOK。
bはどこでも良いから5通り。

◆bが2個

aの次にaを置かない。6通り

◆bが3個

これしかない1通り。
合計して13通り。

@別解@
某フォロワーさんより、算数によくある漸化式ぜんかしきという気になるワードを耳にし、
あれこれ考えてみました。
◆1文字の場合
a、bの2通り
◆2文字の場合
ab、ba、bbの3通り
◆3文字
問題文より5通り・・

【2、3、5…】とくればフィボナッチじゃありませんかッ!
4文字なら3+5=8通り
5文字なら5+8=13通り
6文字なら8+13=21通りです。

なぜ、フィボナッチになるのかという点ですが、

左端がbの場合、1個前のaとbの合計と同じになる
たとえば、4文字のbだと右側の【〇〇〇】は3文字の5通りである。
また、左端がaの場合、1個前のbと同じになる
たとえば、4文字のaだと右側は【b〇〇】の並びとなり、
3文字の【b〇〇】の3通りと等しく、これは2文字の3通りである。
このように、1個前の項(左端b)と2個前の項(左端a)の和が連なる数列となる。

(4)
『最小値1、最大値3』ということは、1と3は必ず出す
残り1つは1~3のどれか。
(1、1、3)⇒3通り
(1、2、3)⇒6通り
(1、3、3)⇒3通り
合計12通り。
確率は、12÷(6×6×6)=1/18

(5)
図形の移動は附設で狙われている。(2020年度久留米大学付設高校大問4

PがAにあるとき、AM⊥BCよりQはMと重なる
3つのをQは通過する。

いっぱい増やしてみました。なんとなく半円に見える

∠BQM=90°が維持されることから、円周角の定理を想起する
∠BQMは直径BMに対する円周角、
すなわち、点Qの軌跡は直径をBMとする円の円周(半円)である。

QがAB上にくる状態を描いて、求積すべき範囲を確定する。

半円の中心をOとしてOQを結ぶ。
半径1cm・中心角120°の扇形と、1辺1cmの正三角形を足せばいい
1×1×π×1/3+1×√3/2×1/2
=π/3+√3/4cm2
国私立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました