2020年度 慶應義塾女子高校過去問【数学】大問2解説

問題PDF
次の(あ)~(す)に当てはまる数を答えなさい。
(く)、(こ)、(し)にあてはまる数は小さい方から順に答えること。

数字が書かれたカードが入っている箱から1枚以上のカードを選ぶ。1枚だけを選んだ場合はそのカードに書かれた数字を、複数枚を選んだ場合はそれらのカードに書かれた数字の合計をSとする。最初に箱の中には1と書かれたカード【1】が2枚だけ入っている。
このとき、カードの選び方は次の2通りで、Sの値は、
【1】が1枚でS=1
【1】と【1】の2枚でS=1+1=2
となる。Sの値として作れるのは1、2だけであるが、数字の書かれたカードを箱に追加すればSの値として3以上の数を作ることができる。そこで、カードを次の規則に従って箱に追加する。
<規則>
(a)カード2枚に同じ自然数を記入して追加する。
(b)それまでにSの値として箱の中のカードで作ることのできた数字を追加のカードに記入してはいけない。
(c)Sの値が1、2、3…と連続して作れるようにする。
2はすでにSの値として作ることができたから、規則(b)より追加するカードに2は記入できない。次に追加するカードは規則(c)よりカード【3】が2枚である。箱の中はカード【1】と【3】がそれぞれ2枚ずつになる。Sの値はカード【1】が2枚だけの場合に加えて、
【3】が1枚でS=3
【1】と【3】の2枚でS=1+3=4
【1】と【1】と【3】の3枚でS=1+1+3=5
(あ)と書かれたカード(い)枚でS=6…のようにして、Sの値を1から連続して(う)まで作ることができる。さらにカードを追加する場合、次のカード2枚には(え)と記入することになる。このようにSの値を調べてカードに追加することを続けると、数字が(え)のカードの次に追加するカード2枚に記入する数字は(お)で、Sの値として(か)個の数字を新しく作ることができる。Sの値として162個の数字を新しく作ることができるのは(き)と記入したカード2枚を追加したときである。また、S=172となる場合のカードは、数字が(く)のカード(け)枚、(こ)のカード(さ)枚、(し)のカード(す)枚を箱から選んだときである。


@解説@
問題文がNAGEE(゚言゚)フーフー
難問ではないので落ち着いて対処したい。

S=6→3+3=6
【3】のカードを2枚使う。
(あ)3(い)2

【1】と【3】が2枚ずつ。
1+1+3+3=8まで全て作ることができる。
(う)8

次に追加すべきカードは8の次の9。
(え)9


【9】のカードを2枚追加。
あいだの数は【1】と【3】のカードを組み合わせればすべて作れる。
作ることのできる最大の数は、(1+3+9)×2=26なので、
次に追加すべきカードは27。
(お)27

【27】のカードを追加して作れる最大数は、(1+3+9+27)×2=80
新しく作ることができたSの値の個数は、80-26=54
(か)54

カードの種類は【1】、【3】、【9】、【27】…と3のベキ乗。
次に追加するカードは【81】。
そして、Sの値の個数は次に追加すべきカードの1つ手前の数でもある。
【1】ならば、3-1=2個
【1】【3】ならば、9-1=8個
【1】~【9】ならば、27-1=26個
【1】~【27】ならば、81-1=80個
【1】~【81】ならば、243-1=242個…
【81】の追加で新しく作れるSの値の個数は242-80=162個。
(き)81

S=172を作れるのは【81】のカードが追加されたとき。
大きい3のベキ乗から引き算をしていく。
172-81-81=10
10-9=1
【81】2枚、【9】1枚、【1】1枚。
問題文を読み落とさないように!
『(く)、(こ)、(し)にあてはまる数は小さい方から順に答えること』
(く)1(け)1(こ)9(さ)1(し)81(す)2

【解答】(あ)3(い)2(う)8(え)9(お)27
(か)54(き)81(く)1(け)1(こ)9(さ)1(し)81(す)2

@余談@
ちなみに、同じ数字のカードを3枚ずつにした場合、
追加すべきカードは【4】【16】【64】…と4のベキ乗になる。
国私立高校入試解説ページに戻る 

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました