2020年度 慶應義塾女子高校過去問【数学】大問2解説

次の(あ)~(す)に当てはまる数を答えなさい。
(く)、(こ)、(し)にあてはまる数は小さい方から順に答えること。

数字が書かれたカードが入っている箱から1枚以上のカードを選ぶ。1枚だけを選んだ場合はそのカードに書かれた数字を、複数枚を選んだ場合はそれらのカードに書かれた数字の合計をSとする。最初に箱の中には1と書かれたカード【1】が2枚だけ入っている。
このとき、カードの選び方は次の2通りで、Sの値は、
【1】が1枚でS=1
【1】と【1】の2枚でS=1+1=2
となる。Sの値として作れるのは1、2だけであるが、数字の書かれたカードを箱に追加すればSの値として3以上の数を作ることができる。そこで、カードを次の規則に従って箱に追加する。
<規則>
(a)カード2枚に同じ自然数を記入して追加する。
(b)それまでにSの値として箱の中のカードで作ることのできた数字を追加のカードに記入してはいけない。
(c)Sの値が1、2、3…と連続して作れるようにする。
2はすでにSの値として作ることができたから、規則(b)より追加するカードに2は記入できない。次に追加するカードは規則(c)よりカード【3】が2枚である。箱の中はカード【1】と【3】がそれぞれ2枚ずつになる。Sの値はカード【1】が2枚だけの場合に加えて、
【3】が1枚でS=3
【1】と【3】の2枚でS=1+3=4
【1】と【1】と【3】の3枚でS=1+1+3=5
(あ)と書かれたカード(い)枚でS=6…のようにして、Sの値を1から連続して(う)まで作ることができる。さらにカードを追加する場合、次のカード2枚には(え)と記入することになる。このようにSの値を調べてカードに追加することを続けると、数字が(え)のカードの次に追加するカード2枚に記入する数字は(お)で、Sの値として(か)個の数字を新しく作ることができる。Sの値として162個の数字を新しく作ることができるのは(き)と記入したカード2枚を追加したときである。また、S=172となる場合のカードは、数字が(く)のカード(け)枚、(こ)のカード(さ)枚、(し)のカード(す)枚を箱から選んだときである。


@解説@
問題文がNAGEE(゚言゚)フーフー
難問ではないので落ち着いて対処したい。

S=6→3+3=6
【3】のカードを2枚使う。
(あ)3(い)2

【1】と【3】が2枚ずつ。
1+1+3+3=8まで全て作ることができる。
(う)8

次に追加すべきカードは8の次の9。
(え)9


【9】のカードを2枚追加。
あいだの数は【1】と【3】のカードを組み合わせればすべて作れる。
作ることのできる最大の数は、(1+3+9)×2=26なので、
次に追加すべきカードは27。
(お)27

【27】のカードを追加して作れる最大数は、(1+3+9+27)×2=80
新しく作ることができたSの値の個数は、80-26=54
(か)54

カードの種類は【1】、【3】、【9】、【27】…と3のベキ乗。
次に追加するカードは【81】。
そして、Sの値の個数は次に追加すべきカードの1つ手前の数でもある。
【1】ならば、3-1=2個
【1】【3】ならば、9-1=8個
【1】~【9】ならば、27-1=26個
【1】~【27】ならば、81-1=80個
【1】~【81】ならば、243-1=242個…
【81】の追加で新しく作れるSの値の個数は242-80=162個。
(き)81

S=172を作れるのは【81】のカードが追加されたとき。
大きい3のベキ乗から引き算をしていく。
172-81-81=10
10-9=1
【81】2枚、【9】1枚、【1】1枚。
問題文を読み落とさないように!
『(く)、(こ)、(し)にあてはまる数は小さい方から順に答えること』
(く)1(け)1(こ)9(さ)1(し)81(す)2

【解答】(あ)3(い)2(う)8(え)9(お)27
(か)54(き)81(く)1(け)1(こ)9(さ)1(し)81(す)2

@余談@
ちなみに、同じ数字のカードを3枚ずつにした場合、
追加すべきカードは【4】【16】【64】…と4のベキ乗になる。
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