問題ＰＤＦ
下の図のように、ＡＢ＝２√３、ＢＣ＝３である長方形ＡＢＣＤがある。
辺ＡＢの中点をＥとし、辺ＡＤ上に点ＦをＤＦ＝２となるようにとる。
①
ＣＥ、ＥＦ、ＣＦの長さを求めよ。
②
△ＡＥＦ∽△ＥＣＦを証明しなさい。
③
３点Ｃ、Ｄ、Ｆを通る円をＯとしてその中心をＧ、
３点Ｂ、Ｃ、Ｅを通る円をＯ’としてその中心をＨとするとき、ＧＨの長さを求めよ。
④
③のとき、２つの円Ｏ、Ｏ’と長方形ＡＢＣＤのすべてが重なる部分の面積を求めよ。
＠解説＠
①
三平方ですばやく出そう！
ＣＥ…２√３、ＥＦ…２、ＣＦ…４
②
△ＡＥＦ∽△ＥＣＦの証明。
３辺の比がわかっているので、それに着目する。
ＡＥ：ＥＦ：ＦＡ＝ＥＣ：ＣＦ：ＦＥ＝√３：２：１
３辺の比が等しいから∽。
③
円の中心であるＧ・Ｈの位置を特定する。
直径に対する円周角は90°！
∠ＣＤＦ＝90°から、円Ｏの中心Ｇは直径ＣＦの中点にある。
∠ＥＢＣ＝90°から、円Ｏ’の中心Ｈは直径ＣＥの中点にある。
さらに、△ＣＧＨと△ＣＦＥにおいて、ＧとＨは各々の辺の中点だから、
中点連結定理により、ＧＨ＝２÷２＝１ｃｍ
④
きっつい:;(∩´＿`∩);:
↑このエリアを求めなさいっちゅーことだが戦意喪失するね！
しかし、この問題だけ解説を書かない訳にはいかないので頑張りました。
長さがよくわかっていないので角度の調査。
こういうヘンテコな図形には有名角が隠れているのが定石です|дﾟ)
ＥＣより下と上で分割し、さきに下の部分を求めにいきます。
△ＡＥＦは１：２：√３の直角三角形→内角は30°－60°－90°
（２）の△ＡＥＦ∽△ＥＣＦより、△ＥＣＦの内角も30°－60°－90°。
∠ＣＥＦ＝90°だから、Ｅも円Ｏの円周上にある。
ＥＧに補助線。
円Ｏの中心Ｇに注目。
ＦＧ＝４÷２＝２、半径からＥＧ＝２、ＥＦ＝２。
△ＥＦＧは３辺が等しい正三角形。
また、△ＥＧＨは辺の比が１：２：√３→内角が30°－60°－90°の直角三角形！
△ＣＧＨも内角もこれと等しく、ＥＨ＝ＨＣから一辺と両端角相等で△ＥＧＨ≡△ＣＧＨ。
円Ｏと辺ＢＣ上（Ｃ以外）の交点をＩとする。ＧＩに補助線。
∠ＡＥＦ＝30°→∠ＢＥＣ＝60°→△ＢＥＣの残りの内角で∠ＥＣＢ＝30°→∠ＧＣＩ＝60°
半径からＧＩ＝ＧＣ→△ＧＣＩの内角がすべて60°となり正三角形。
（*∠ＩＨＣ＝ＧＨＣ＝90°となり、Ｇ―Ｈ―Ｉは一直線）
△ＥＧＨと△ＣＩＨは一辺と両端角が等しく合同。
△ＣＩＨを△ＥＧＨに移植すると、半径２ｃｍ中心角60°の扇形になる。
２×２×π×60/360＝２/３πｃｍ2
つづいて上の部分にいきます(;´Д｀)ｲﾔ-
円Ｏ’と辺ＣＤ（Ｃ・Ｄ以外）の交点をＪとする。
∠ＧＣＪ＝90－60＝30°
半径から△ＨＪＣは二等辺で、底角の∠ＨＣＪ＝60°だから、
△ＨＪＣの内角はすべて60°で正三角形！
（*ＪＣ＝√３となり、四角形ＥＢＣＪは長方形→Ｅ―Ｇ―Ｊは一直線といえる）
半径√３ｃｍ中心角120°の扇形と、１辺が√３ｃｍの正三角形となる。
正三角形の高さは１：２：√３から、√３×√３/２＝３/２ｃｍ
よって、√３×√３×π×120/360＋√３×３/２×１/２＝π＋３√３/４ｃｍ2
したがって、２/３π＋（π＋３√３/４）
＝５/３π＋３√３/４ｃｍ2
*しんどかった:( ´ω` ):
角度や辺の情報がごちゃごちゃしましたが、途中の説明は他にもいろいろあります。
ポイントは扇形と正方形の交点Ｉ・Ｊがどのような位置にあるのかを見極めることでしょうか。
中心をＧとする円Ｏの弧か、中心をＨとする円Ｏ’の弧か。
いたるところにある１：２：√３の直角三角形を活用する。
鮮やかな解法をついた方は、ぜひ下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願います<(_ _)>
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