2020年度 岡山朝日高校過去問【数学】大問4解説

下の図のように、AB=2√3、BC=3である長方形ABCDがある。
辺ABの中点をEとし、辺AD上に点FをDF=2となるようにとる。



CE、EF、CFの長さを求めよ。


△AEF∽△ECFを証明しなさい。


3点C、D、Fを通る円をOとしてその中心をG、
3点B、C、Eを通る円をO’としてその中心をHとするとき、GHの長さを求めよ。


③のとき、2つの円O、O’と長方形ABCDのすべてが重なる部分の面積を求めよ。


@解説@


三平方ですばやく出そう!
CE…2√3、EF…2、CF…4


△AEF∽△ECFの証明。
3辺の比がわかっているので、それに着目する。
AE:EF:FA=EC:CF:FE=√3:2:1
3辺の比が等しいから∽。


円の中心であるG・Hの位置を特定する。

直径に対する円周角は90°!
∠CDF=90°から、円Oの中心Gは直径CFの中点にある。
∠EBC=90°から、円O’の中心Hは直径CEの中点にある。

さらに、△CGHと△CFEにおいて、GとHは各々の辺の中点だから、
中点連結定理により、GH=2÷2=1cm


きっつい:;(∩´_`∩);:

↑このエリアを求めなさいっちゅーことだが戦意喪失するね!
しかし、この問題だけ解説を書かない訳にはいかないので頑張りました。

長さがよくわかっていないので角度の調査。
こういうヘンテコな図形には有名角が隠れているのが定石です|д゚)
ECより下と上で分割し、さきに下の部分を求めにいきます。

△AEFは1:2:√3の直角三角形→内角は30°-60°-90°
(2)の△AEF∽△ECFより、△ECFの内角も30°-60°-90°。
∠CEF=90°だから、Eも円Oの円周上にある。

EGに補助線。
円Oの中心Gに注目。
FG=4÷2=2、半径からEG=2、EF=2。
△EFGは3辺が等しい正三角形。
また、△EGHは辺の比が1:2:√3→内角が30°-60°-90°の直角三角形!
△CGHも内角もこれと等しく、EH=HCから一辺と両端角相等で△EGH≡△CGH。

円Oと辺BC上(C以外)の交点をIとする。GIに補助線。
∠AEF=30°→∠BEC=60°→△BECの残りの内角で∠ECB=30°→∠GCI=60°
半径からGI=GC→△GCIの内角がすべて60°となり正三角形。
(*∠IHC=GHC=90°となり、G―H―Iは一直線)

△EGHと△CIHは一辺と両端角が等しく合同。
△CIHを△EGHに移植すると、半径2cm中心角60°の扇形になる。
2×2×π×60/360=2/3πcm2

 つづいて上の部分にいきます(;´Д`)イヤ-
円O’と辺CD(C・D以外)の交点をJとする。
∠GCJ=90-60=30°
半径から△HJCは二等辺で、底角の∠HCJ=60°だから、
△HJCの内角はすべて60°で正三角形!
(*JC=√3となり、四角形EBCJは長方形→E―G―Jは一直線といえる)

半径√3cm中心角120°の扇形と、1辺が√3cmの正三角形となる。
正三角形の高さは1:2:√3から、√3×√3/2=3/2cm
よって、√3×√3×π×120/360+√3×3/2×1/2=π+3√3/4cm2

したがって、2/3π+(π+3√3/4)
=5/3π+3√3/4cm2
*しんどかった:( ´ω` ):
角度や辺の情報がごちゃごちゃしましたが、途中の説明は他にもいろいろあります。
ポイントは扇形と正方形の交点I・Jがどのような位置にあるのかを見極めることでしょうか。
中心をGとする円Oの弧か、中心をHとする円O’の弧か。
いたるところにある1:2:√3の直角三角形を活用する。
鮮やかな解法をついた方は、ぜひ下のコメント欄かお問い合わせよりお知らせ願います<(_ _)>
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