問題ＰＤＦ
下の図のように、直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、ＡＢ＝３、ＡＤ＝６、ＡＥ＝２です。
点Ｇからこの直方体の対角線ＣＥに垂線を引き、その交点をＰとします。
このとき、次の各問いに答えなさい。
（１）
線分ＧＰの長さを求めなさい。
（２）
三角錐Ｐ―ＧＥＦの体積を求めなさい。
（３）
辺ＡＤの中点をＱとし、辺ＦＧ上にＦＲ＝２となる点Ｒをとります。
３点Ｂ、Ｑ、Ｒを通る平面と線分ＥＧの交点をＳとするとき、
三角錐Ｐ―ＧＳＲの体積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
点Ｐを含むＥＣは面ＡＥＧＣ上にある。
三平方の定理を用いて、ＥＧ＝√（６2＋３2）＝３√５
ＥＣ＝√（６2＋３2＋２2）＝７
２角相等で△ＣＧＰ∽△ＣＥＧ。
ＣＧ：ＣＥ＝ＧＰ：ＥＧ
ＧＰ＝３√５×２/７＝６√５/７
（２）
底面の△ＧＥＦは、６×３÷２＝９
あとは錘の高ささえわかればお終い。
直角三角形の∽。△ＣＧＰ∽△ＧＥＰ
ＣＰ：ＰＧ＝ＧＰ：ＰＥ＝２：３√５
〇３√５＝【２】
ＥＰを〇に統一すると、〇３√５×【３√５】/【２】＝〇45/２
ＥＰ：ＰＣ＝〇45/２：②＝㊺：④
錘の高さは、２の45/49倍。
三角錐Ｐ―ＧＥＦの体積は、９×（２×㊺/㊾）×１/３＝270/49
（３）
（２）の三角錐Ｐ―ＧＥＦと三角錘Ｐ―ＧＳＲの体積比は、
底面積である△ＧＥＦと△ＧＳＲの面積比に等しい。
△ＧＥＦ：△ＧＳＲを算出する。
断面図は平行線を意識する。
断面とＥＨの交点をＴとすると、ＢＱ//ＲＴ、ＢＲ//ＱＴ。
△ＢＦＲは等辺２の直角二等辺三角形。Qから下に２、右に２移動してＴ。
ＥＴ＝５
△ＧＳＲ∽△ＥＳＴより、ＧＳ：ＥＳ＝ＲＧ：ＴＥ＝⑤：④
ＦＲ：ＲＧ＝２：４＝【１】：【２】
面積比は隣辺比で対処。
△ＧＥＦ…⑨×【３】＝27
△ＧＳＲ…④×【２】＝８
三角錐Ｐ―ＧＳＲの体積は、270/49×８/27＝80/49
国私立高校入試解説ページに戻る
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д｀)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい！
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ！
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
ＱＵＩＺ…☆４以上はムズいよ！
ｎｏｔｅも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのｎｏｔｅ
サボのツイッターはコチラ→
コメント