2021年度　豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問６解説

問題ＰＤＦ
下の図のように、直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、ＡＢ＝３、ＡＤ＝６、ＡＥ＝２です。
点Ｇからこの直方体の対角線ＣＥに垂線を引き、その交点をＰとします。
このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）
線分ＧＰの長さを求めなさい。

（２）
三角錐Ｐ―ＧＥＦの体積を求めなさい。

（３）
辺ＡＤの中点をＱとし、辺ＦＧ上にＦＲ＝２となる点Ｒをとります。
３点Ｂ、Ｑ、Ｒを通る平面と線分ＥＧの交点をＳとするとき、
三角錐Ｐ―ＧＳＲの体積を求めなさい。

＠解説＠
（１）
点Ｐを含むＥＣは面ＡＥＧＣ上にある。

三平方の定理を用いて、ＥＧ＝√（６²＋３²）＝３√５
ＥＣ＝√（６²＋３²＋２²）＝７

２角相等で△ＣＧＰ∽△ＣＥＧ
ＣＧ：ＣＥ＝ＧＰ：ＥＧ
ＧＰ＝３√５×２/７＝６√５/７

（２）
底面の△ＧＥＦは、６×３÷２＝９
あとは錘の高ささえわかればいい。

直角三角形の∽。△ＣＧＰ∽△ＧＥＰ
ＣＰ：ＰＧ＝ＧＰ：ＰＥ＝２：３√５

〇３√５＝【２】
ＥＰを〇に統一すると、〇３√５×【３√５】/【２】＝〇45/２
ＥＰ：ＰＣ＝〇45/２：②＝㊺：④
錘の高さは、２の45/49倍。
三角錐Ｐ―ＧＥＦの体積は、９×（２×㊺/㊾）×１/３＝270/49

（３）
（２）の三角錐Ｐ―ＧＥＦと三角錘Ｐ―ＧＳＲの体積比は、
底面積である△ＧＥＦと△ＧＳＲの面積比に等しい。

断面図は平行線を意識する。
断面とＥＨの交点をＴとすると、ＢＱ//ＲＴ、ＢＲ//ＱＴ。
△ＢＦＲは等辺２の直角二等辺三角形。Qから下に２、右に２移動してＴ。
ＥＴ＝５

△ＧＳＲ∽△ＥＳＴより、ＧＳ：ＥＳ＝ＲＧ：ＴＥ＝⑤：④
ＦＲ：ＲＧ＝２：４＝【１】：【２】

面積比は隣辺比で対処する。
△ＧＥＦ…⑨×【３】＝27
△ＧＳＲ…④×【２】＝８
三角錐Ｐ―ＧＳＲの体積は、270/49×８/27＝80/49
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