2021年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問2解説

問題PDF
(1)

xについての2次方程式
2+(2a2-a-1)x-4a-9=0がx=3を解にもつとき、
定数aの値をすべて求めなさい。

(2)
1次関数y=ax+1について、xの変域が-1≦x≦2のとき、yの変域はa≦y≦bです。
このとき、定数aの値をすべて求めなさい。

(3)
a、b、cは、1<c<b<a<20を満たす整数とします。
170a+169b+168cの値が13の倍数となるとき、
考えられるa、b、cの組は全部で何組ありますか。

(4)

上の図のように、円と半円があり、
円は半円の弧ABと直径ABにそれぞれ点Pと点Qで接しています。
半円の中心をOとし、∠PBQ=58°であるとき、∠OPQの大きさを求めなさい。


@解説@
(1)
x=3を代入。
2+3(2a2-a-1)-4a-9
=6a2-7a-3
=(3a+1)(2a-3)=0
a=-1/3、3/2

(2)
yの最小値aのx座標が-1or
2かは、傾きaが正or負かによる。
傾きaの正負で場合分け
◆a>0のとき
直線は右上に傾く。x=-1のとき、y=a
-1、a)をy=ax+1に代入。
a=-a+1
a=1/2
これはa>0を満たす(←この条件はきちんと確認すること!

◆a<0のとき
直線は右下。x=2のとき、y=a
2、a)をy=ax+1に代入。
a=2a+1
a=-1
これはa<0を満たす(←確認を怠らない!
よって、
a=-1、1/2

(3)
169は13の平方数
また、この手のタイプは真ん中の数で揃えると上手くいく場合がある。

170a+169b+168c
(169+1)a+169b+(169-1)c
=169(a+b+c)+a-c

最後のa-cが13の倍数であれば、全体が13の倍数となる。
1<c<a<20の範囲で、a-cの差が13の倍数となるのは13のみ。
(a、c)=(19、6)(18、5)(17、4)(16、3)(15、2)
5通り

c<b<a→bはaとcのあいだの数。
aとcの差は13で一定だから、bは12通りずつある。
*(a、c)=(19、6)であれば、bは7~18の12個。
12×5=60組

(4)

半径OP=OBより、△OPBは二等辺。
∠POB=180-58×2=64°

ここで接点P、Qを用いる。
接線と半径は接点で垂直に交わる
Pは円と半円の接点なので、半円の半径OPも接線に対して垂直である
→円の直径はOP上にある。
Qから接線OBに垂直な線をひき、OPとの交点をO’とすると、
O’はO’P、O’Qを半径とする円の中心である。

△OO’Qの内角から、∠OO’Q=180-(64+90)=26°
∠OPQは26°を中心角とする弧に対する円周角であるから、
∠OPQ=26÷2=
13°
国私立高校入試解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメント

タイトルとURLをコピーしました