問題ＰＤＦ
三角形と四角形を組み合わせて作られた立体があり、【図１】はその見取図である。
【図２】から【図５】は、この立体を真上、真下、真正面、右側から見たときの図である。
【図２】では四角形ＡＢＦＥ、ＤＡＥＩ、ＨＣＡＤ、ＣＧＢＡ、【図３】では四角形ＦＧＨＩ、【図４】では四角形ＨＣＡＤ、【図５】では四角形ＩＤＡＥは正方形である。また【図４】では△ＡＩＧ、【図５】では△ＡＦＨは直角二等辺三角形である。辺ＡＢの実際の長さが３ｃｍであるとき、次の問いに答えなさい。
（１）
この立体の表面積を求めなさい。
（２）
この立体の体積を求めなさい。
（３）
この立体を３点Ｃ、Ｈ、Ｉをふくむ平面で２つに分ける。
面ＦＧＨＩをふくむ側の立体の体積を求めなさい。
＠解説＠
（１）
ＡＢ＝３ｃｍしか情報がないので、他の辺の長さを調べる。
回転対称（回したら元の図形とピッタリ重なる）からＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＡＥ＝３ｃｍ
真上の図で４つの四角形は正方形→ＣはＧＨの中点。
真上の〇と真正面の●は同じ長さか不明でも、図を重ね合わせると真正面のＣはＡＧの中点にくる。
ＡＣ＝３ｃｍだから、ＣＧ＝３ｃｍ
回転対称からＣＨ、ＤＨ、ＤＩなども３ｃｍ。
→四角形ＡＣＨＤは１辺３ｃｍの菱形で、他３つも合同の菱形である。
残りの辺がとても厄介。
３ｃｍを斜辺とする直角三角形を作成する。
他に使えそうな情報は、真正面の図で△ＡＧＩが直角二等辺であること。
Ｂ・Ｃ・Ｄ・Ｅで横に切り取ると、切断面は正方形。
Ａから垂線を下ろし、正方形ＢＣＤＥとの交点をＭとする。
Ｍを通るＣＤに平行な線をひき、ＢＣ、ＥＤとの交点をそれぞれＪ・Ｋとする。
△ＡＪＫ∽△ＡＧＩより、△ＡＪＫは直角二等辺三角形。
ＭはＪＫの中点だから、右半分の△ＡＭＫも直角二等辺。
ＡＭ＝①とするとＭＫ＝①（真正面の図でみるとＭＤ＝①）
真上の図で△ＡＫＥも直角二等辺で、ＡＥ＝〇√２
立体図から△ＡＭＥで三平方→ＡＫ＝〇√３＝３ｃｍ
ＡＭ①＝３×①/〇√３ｃｍ＝√３ｃｍ
ＣＥ＝〇２√２で、これが底面の四角形の１辺であるＨＩの長さにあたる。
√３×〇２√２＝２√６ｃｍ
底面の四角形ＦＧＨＩは１辺２√６ｃｍの正方形である。
Ｍの真下で底面の正方形との交点をＮとする。
ＭＮ＝ＡＭ＝①だから√３ｃｍ（１階部分と２階部分の高さは共に√３ｃｍ）
ＤＥ＝②、√３×②＝２√３ｃｍ
ＡＫ＝〇√２→ＡＩ＝〇２√２、√３×〇２√２＝２√６ｃｍ
ようやく必要な情報がすべてそろった(;´･ω･)
立体の表面積は、２√６×２√６＋２√３×２√６÷２×４＋２√６×√３×４÷２
＝24＋24√２＋12√２
＝24＋36√２ｃｍ2
＠余談＠
このアングルでは見にくいですけど、△ＡＧＩと△ＡＨＦは合同の直角二等辺で、
四角錘ＡーＦＧＨＩは１辺がすべて２√６の正四角錘である。
ＡＨ＝２√６だから、菱形を縦に割った△ＡＤＨは△ＤＨＩと合同で、
正方形ＦＧＨＩ＋△ＤＨＩ×12
＝（２√６）2＋２√６×√３÷２×12
＝24＋36√２ｃｍ2でもいけました。
（２）
２階部分の正四角錘ＡーＢＣＤＥを十字に４分割する。
その４分の１である三角錐Ａ―ＭＤＥをひっくり返して下の部分にあてはめる。
これをもう３箇所で行うと、求積すべき立体は直方体になる！
先ほど底面積は24ｃｍ3と出したので、24×√３＝24√３ｃｍ3
（３）
Ｃ・Ｈ・Ｉを含む切断面とＡＢとの交点をＯとする。
切断面の真横から見た図形は五角形であり、縦２√３ｃｍ、横２√６ｃｍの長方形を４分割すると、
Ｏの位置がＡＢの中点にあると見えやすい。
面ＡＣＥで分割する。
立体ＡＣＥ―ＤＨＩは斜めに傾いているが、底面△ＤＨＩ、高さ√６ｃｍの柱体とみなせる。
また、三角錘ＯーＡＣＥにおいて、底面の△ＡＣＥは△ＤＨＩと等しく、高さは√６/２ｃｍ。
２√６×√３÷２×√６＋２√６×√３÷２×√６/２÷３
＝７√３ｃｍ3
求めたい立体は反対側なので、24√３－７√３＝17√３ｃｍ3
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