2020年度 早稲田実業高等部過去問【数学】大問4解説

下の図のように、放物線y=3x2と直線y=mx(m<0)、
直線y=nx(n>0)との交点のうち、原点Oと異なる点をそれぞれP、Qとする。

このとき、次の各問いに答えよ。

(1)
直線PQの傾きm、nを用いて表せ。

(2)
点Pのx座標が-2、直線PQの傾き-1のとき、nの値を求めよ。

(3)
整数m、nを変化させたとき、傾きが10、切片が40以下の整数となるような
直線PQは何本かくことができるか。


@解説@
(1)
Pはy=3x2とy=mxの交点。
3x2=mx
x=m/3
これをy=3x2に代入→y=3×(m/3)2=m2/3
P(m/3、m2/3)

同様にQの座標を求めると、Q(n/3、n2/3)←文字が変わるだけ。
傾きは(yの増加量)/(xの増加量)

PQの傾きは、m+n。

(2)
Pのx座標は-2。
m/3=-2
m=-6

PQの傾きは-1。
→前問より、m+n=-1
-6+n=-1
n=5

(3)
初手がつかみにくい(;`ω´)
mとnを変化させたとき、条件をクリアするmとnの組み合わせを模索する。
ポイントは切片が40以下の整数』。

切片をm、nで表す。
PQの傾きはm+nなので、これをPQの式にあてはめると、
y=(m+n)x+b
これにP(m/3、m2/3)を代入。
2/3=m/3(m+n)+b
b=m2/3-m2/3-mn/3
b=-mn/3≦40
mn≧-120

一方で、PQの傾きは10なので、m+n=10でもある。

条件をまとめると…
mとnは整数、m<0、n>0、m+n=10
mn≧-120、切片の-mn/3は整数

mとnの組み合わせを絞っていく。
m=-1から当てはめ。
(m、n)=(-1、11)(-2、12)(-3、13)(-4、14)
(-5、15)(-6、16
)(-7、17)…
(-7、17)→-7×17=-119でギリギリmn≧-120だから、(-8、18)以降はなし!

さらに、切片-mn/3の値は整数でなければならないので、mかnのいずれかに3の倍数が必要
(m、n)=(-2、12)(-3、13)(-5、15)(-6、16)
したがって、4本。

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