問題ＰＤＦ
下の図のように、放物線ｙ＝３ｘ2と直線ｙ＝ｍｘ（ｍ＜０）、
直線ｙ＝ｎｘ（ｎ＞０）との交点のうち、原点Ｏと異なる点をそれぞれＰ、Ｑとする。
このとき、次の各問いに答えよ。
（１）
直線ＰＱの傾きｍ、ｎを用いて表せ。
（２）
点Ｐのｘ座標が－２、直線ＰＱの傾き－１のとき、ｎの値を求めよ。
（３）
整数ｍ、ｎを変化させたとき、傾きが10、切片が40以下の整数となるような
直線ＰＱは何本かくことができるか。
＠解説＠
（１）
Ｐはｙ＝３ｘ2とｙ＝ｍｘの交点。
３ｘ2＝ｍｘ
ｘ＝ｍ/３
これをｙ＝３ｘ2に代入→ｙ＝３×（ｍ/３）2＝ｍ2/３
Ｐ（ｍ/３、ｍ2/３）
同様にＱの座標を求めると、Ｑ（ｎ/３、ｎ2/３）←文字が変わるだけ。
傾きは（ｙの増加量）/（ｘの増加量）。
ＰＱの傾きは、ｍ＋ｎ。
（２）
Ｐのｘ座標は－２。
ｍ/３＝－２
ｍ＝－６
ＰＱの傾きは－１。
→前問より、ｍ＋ｎ＝－１
－６＋ｎ＝－１
ｎ＝５
（３）
初手がつかみにくい(;`ω´)
ｍとｎを変化させたとき、条件をクリアするｍとｎの組み合わせを模索する。
ポイントは『切片が40以下の整数』。
切片をｍ、ｎで表す。
ＰＱの傾きはｍ＋ｎなので、これをＰＱの式にあてはめると、
ｙ＝（ｍ＋ｎ）ｘ＋ｂ
これにＰ（ｍ/３、ｍ2/３）を代入。
ｍ2/３＝ｍ/３（ｍ＋ｎ）＋ｂ
ｂ＝ｍ2/３－ｍ2/３－ｍｎ/３
ｂ＝－ｍｎ/３≦40
ｍｎ≧－120
一方で、ＰＱの傾きは10なので、ｍ＋ｎ＝10でもある。
条件をまとめると…
ｍとｎは整数、ｍ＜０、ｎ＞０、ｍ＋ｎ＝10
ｍｎ≧－120、切片の－ｍｎ/３は整数
ｍとｎの組み合わせを絞っていく。
ｍ＝－１から当てはめ。
（ｍ、ｎ）＝（－１、11）（－２、12）（－３、13）（－４、14）
（－５、15）（－６、16）（－７、17）…
（－７、17）→－７×17＝－119でギリギリｍｎ≧－120だから、（－８、18）以降はなし！
さらに、切片－ｍｎ/３の値は整数でなければならないので、ｍかｎのいずれかに３の倍数が必要。
（ｍ、ｎ）＝（－２、12）（－３、13）（－５、15）（－６、16）
したがって、４本。
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