2020年度 渋谷教育学園幕張高校過去問【数学】大問4解説

下の図のように1辺の長さが1の正十二角形があり、
6つの頂点をA、B、C、D、E、Fとする。

正十二角形の内部に正三角形ADG、BEH、CFIをかき、IとGを結ぶ。
BHとIGの交点をJ、BHとFIの交点をK、EHとAGの交点をL、
EHとIGの交点をM、AGとFIの交点をNとする。

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
BEの長さを求めなさい。

(2)
LGの長さを求めない。

(3)
五角形JKNLMの面積を求めなさい。


@解説@
(1)
ここはおさえておきたい。

正十二角形の外角は、360÷12=30°
BE//CDの錯角と直角で、赤い三角形の内角が30°-60°-90°
→辺の比は1:2:√3
右側も左右対称で同様。BE=1×√3/2×2+1=√3+1

(2)
わちゃわちゃした図形で迷子になる:(っ`ω´c):

AD・BE・
CFに注目しよう!
正十二角形の周上で考えると、いずれも頂点2つ飛ばしで長さが等しい。
→AD=BE=CF(3つの正三角形は辺の長さが√3+1で等しい)

また、前問のような1:2:√3の直角三角形が他にもたくさん出てくる。

LGを1辺とする三角形に見当をつけよう。
HEとGDの交点をOとする△OGLからLGの長さを求めたい。

正十二角形の1つの内角は150°。∠GDE=150-90=60°
正三角形の内角から∠DGA=60°
錯角が等しく、AG//DE△ODE∽△OGL

∠OED=30+60=90°
△ODEも△OGLも辺の比が1:2:√3の直角三角形
OD=1×2=2
GO=GD-OD=(√3+1)-2=√3-1
LG=(√3-1)×1/2=(√3-1)/2

(3)
細々とした場所を粘りながら認定していく。
前問のLGを使う。

△MGLも1:2:√3の直角三角形
ML=(√3-1)/2×1/√3=(3-√3)/6


対称性から△MGL≡△JIK
△ING-(△MGL+△JIK)=五角形JKNLM
△INGの内角は30°-30°-120°の二等辺三角形で、
縦半分に割ると1:2:√3の直角三角形。
IG=1より、高さは1/2×1/√3=√3/6

1×√3/6÷2-(√3-1)/2×(3-√3)/6÷2×2
=√3/12-(3√3-3-3+√3)/12
=(6-3√3)/12
(2-√3)/4

1:2:√3を使う典型問題ですが…精神力と時間との戦いです(-_-;)
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