2021年度 海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問1解説

(1)
1から200までの17の倍数の和をA、13の倍数の和をBとするとき、
AとBではどちらがどれだけ大きいですか。

(2)
3の倍数の積3×6×9×…×99を計算すると下何けたが0になりますか。

(3)
a×a=a2、a×a×a=a3のように表します。
(あ)
偶数を2、22、23・・・の和で表そうと思います。
例えば10=2+23、24=23+24のようになります。2020を表しなさい。

(い)
次の〔   〕に当てはまる整数の組を1つ答えなさい。
2020=232+292+〔  〕2+〔  〕2

(4)
図1の7種類のタイルのうち5種類を使い、重ならないように配置して
図2の4×9の長方形をはみ出さないようにおおうことを考えます。

同じタイルはいくつ使っても、向きを変えてもかまいませんが、
裏返して使うことはできません。長方形の埋め方を1つ示しなさい。


@解説@
(1)
A;200÷17=11…13
B;200÷13=15…5
1~200までに17の倍数は11個、13の倍数は15個ある。

11個目までは17-13=4、17×2-13×2=4×2=8、
17×3-13×3=4×3=12…と、差が4の倍数で広がっていく
11個目の差は11×4=44。差の合計は(4+44)×11÷2=264
→11個目まではAが264多い。

Bは12~15個目(最後から4個)の13の倍数が加算される。
13×12+13×13+13×14+13×15
=13×(12+13+14+15)=13×54=702
差は702-264=438
Bが438大きい。

(2)
10の倍数ではなく、5の倍数に着目しよう。
10の倍数でない5の倍数も偶数とかけあわせれば0が作れる。
3の倍数×5の倍数=15の倍数
〔15・30・45・60・75・90〕
気を付けるべき点は、75は25の倍数で素因数5が2つある
7桁

(3)(あ)
2020を2のベキ乗の和で示す。
ズバリ、2進法(σ・Д・)σ

2020を2進法になおすと〔11111100100〕。
0×0+21×0+22×1+23×0+24×0+25×1+26×1+27×1+28×1+29×1+210×1
先頭は20=1に注意!
よって、22+25+26+27+28+29+210

(い)
考えるよりやってみた方が早いと思う(;`ω´)
23×23=529
29×29=841
2020-(529+841)=650

650を2つの平方数の和で示す。
23×23=529だったので、650に近い平方数を調べてみると25×25=625
650との差が25だから、52+252と出てしまう。。

また、23×23=529と650の差が121で、
中学受験生であれば20の平方数までは言えるはずなので112+232と出る。

@余談@
2020を2つの平方数の和で表す問題が市川高校で出題されました。

2020年度 市川高校過去問【数学】大問2解説

-ブラーマグプタの恒等式-
(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2

650=2×52×13=52×(2×13)=25×26
25=02+52
26=12+52
a=0、b=5、c=1、d=5とおいて代入。
(02+52)(12+52
=(0×1+5×5)2+(0×5-5×1)2
=252+(-5)2

負の数は2乗すると符号が正に変わるので、
650=52+252に置き換えられる。

―別解―
650=2×52×13=13×50
13=22+32
50=12+72
a=2、b=3、c=1、d=7で代入。
(22+32)(12+72
=(2×1+3×7)2+(2×7-3×1)2
=232+112

―別解2―
13=22+32
50=72+12 ←項を入れ替えた。
a=2、b=3、c=7、d=1で代入。
(22+32)(72+12
=(2×7+3×1)2+(2×1-3×7)2
=172+(-19)2
2乗すると負が正に変わるから、172+192

(4)
テトリス問題(‘ω’)
7種類のなかから5種類のタイルを選ぶ。

9列あるが棒と正方形を使えば列の数を減らすことはできる。
残りの3種類で四角形を埋めることができれば、ほぼ正解◎。

下から埋めてみました。
同じパーツを使ってみると良いかも。『ト』が万能。
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