2021年度　海陽中等教育学校・特別給費過去問【算数】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）
１から200までの17の倍数の和をＡ、13の倍数の和をＢとするとき、
ＡとＢではどちらがどれだけ大きいですか。

（２）
３の倍数の積３×６×９×…×99を計算すると下何けたが０になりますか。

（３）
ａ×ａ＝ａ²、ａ×ａ×ａ＝ａ³のように表します。
（あ）
偶数を２、２²、２³･･･の和で表そうと思います。
例えば10＝２＋２³、24＝２³＋２⁴のようになります。2020を表しなさい。

（い）
次の〔　　　〕に当てはまる整数の組を１つ答えなさい。
2020＝23²＋29²＋〔　　〕²＋〔　　〕²

（４）
図１の7種類のタイルのうち５種類を使い、重ならないように配置して
図２の４×９の長方形をはみ出さないようにおおうことを考えます。

同じタイルはいくつ使っても、向きを変えてもかまいませんが、
裏返して使うことはできません。長方形の埋め方を１つ示しなさい。

11個目までは17－13＝４、17×２－13×２＝４×２＝８、
17×３－13×３＝４×３＝12…と、差が４の倍数で広がっていく。
11個目の差は11×４＝44。差の合計は（４＋44）×11÷２＝264
→11個目まではＡが264多い。

Ｂは12～15個目（最後から４個）の13の倍数が加算される。
13×12＋13×13＋13×14＋13×15
＝13×（12＋13＋14＋15）＝13×54＝702
差は702－264＝438
Ｂが438大きい。

（２）
10の倍数ではなく、５の倍数に着目しよう。
10の倍数でない５の倍数も偶数とかけあわせれば０が作れる。
３の倍数×５の倍数＝15の倍数
〔15・30・45・60・75・90〕
気を付けるべき点は、75は25の倍数で素因数５が２つある！
７桁

（３）（あ）
2020を２のベキ乗の和で示す。
ズバリ、２進法(σ･Д･)σ

2020を２進法になおすと〔11111100100〕。
２⁰×０＋２¹×０＋２²×１＋２³×０＋２⁴×０＋２⁵×１＋２⁶×１＋２⁷×１＋２⁸×１＋２⁹×１＋２¹⁰×１
先頭は２⁰＝１に注意！
よって、２²＋２⁵＋２⁶＋２⁷＋２⁸＋２⁹＋２¹⁰

（い）
考えるよりやってみた方が早いと思う(;`ω´)
23×23＝529
29×29＝841
2020－（529＋841）＝650

650を２つの平方数の和で示す。
23×23＝529だったので、650に近い平方数を調べてみると25×25＝625
650との差が25だから、５²＋25²と出てしまう。。

また、23×23＝529と650の差が121で、
中学受験生であれば20の平方数までは言えるはずなので11²＋23²と出る。

＠余談＠
2020を２つの平方数の和で表す問題が市川高校で出題されました。

2020年度　市川高校過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ ４で割って１余る素数は、必ず自然数の平方数の和で表すことができることが分かっている。 例えば、13＝２2＋３2である。このとき、次の問いに答えよ。 （１） 2020を素因数分解せよ。 （２） （ａｃ＋ｂｄ）2＋（ａｄ－ｂｃ）2を...

sabotensabo.com

2020.11.17

－ブラーマグプタの恒等式－
【（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）＝（ａｃ+ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²】

650＝２×５²×13＝５²×（２×13）＝25×26
25＝０²＋５²
26＝１²＋５²
ａ＝０、ｂ＝５、ｃ＝１、ｄ＝５とおいて代入。
（０²＋５²）（１²＋５²）
＝（０×１＋５×５）²＋（０×５－５×１）²
＝25²＋（－５）²

負の数は２乗すると符号が正に変わるので、
650＝５²＋25²に置き換えられる。

―別解―
650＝２×５²×13＝13×50
13＝２²＋３²
50＝１²＋７²
ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝１、ｄ＝７で代入。
（２²＋３²）（１²＋７²）
＝（２×１＋３×７）²＋（２×７－３×１）²
＝23²＋11²

―別解２―
13＝２²＋３²
50＝７²＋１²←項を入れ替えた。
ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝７、ｄ＝１で代入。
（２²＋３²）（７²＋１²）
＝（２×７＋３×１）²＋（２×１－３×７）²
＝17²＋（－19）²
２乗すると負が正に変わるから、17²＋19²

（４）
テトリス問題(‘ω’)
７種類のなかから５種類のタイルを選ぶ。

９列あるが棒と正方形を使えば列の数を減らすことはできる。
残りの３種類で四角形を埋めることができれば、ほぼ正解◎。

下から埋めてみました。
同じパーツを使ってみると良いかも。『ト』が万能。
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