2021年度 奈良県公立高校入試過去問【数学】解説

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出題範囲の縮小は標本調査。

大問1(小問集合)

(1)①
-2-5=-7


-32×9
=-9×9=-81


8a2b÷(-2ab)2×6ab
=8a2b÷4a22×6ab
=12a


(x+7)(x-4
)-(x-4)2 ←共通因数(x-4)でくくる
=(x-4){(
x+7)-(x-4)}
=11(x-4)
11x-44

(2)
3x+4y=1
2x-y=-3
加減法がやりやすいかな?
x=-1、y=1

(3)
2-3x+1=0
解の方式を適用して、
x=(3±√5)/2

(4)
√9<√15<√16
⇒√15の整数部分は3。
√15の小数部分は√15-3

2+6a
=a(a+6) ←ここで代入
=(√15-3)(√15+3)
=15-9=6

(5)
ア:A…5/30、B…5/73
相対度数は小数で表すものだが、分数で比較すると分子が同じなので分母の小さいAが大きい。〇
イ:A…5人、B…5人×
ウ:A…7.5時間、B…7.5時間×
エ:Bの7時間未満は37人。37を2倍すると74だから、37/73は半分を超える。〇
ア・エ

(6)

立方体の対角線上にある2点は、展開図では2つ分の長方形の対角線上にある。

(7)
正三角形をつくり、60°を二等分すれば30°ができる。

①線分BCをひく。
②ABの長さをとって正三角形を作成。
③60°を二等分。BCとの交点がPとなる。

(8)①
最も小さい数をaとすると、連続する4つの整数はa、a+1、a+2、a+3。
最も大きい数はa+3。


ここで筆が止まる(´゚ω゚`;)

2021÷3=673…2
2021は3の倍数ではない。

連続する3つの整数の和は3の倍数。(均すと真ん中の数になる)
aかa+3を除外すると、残りの和は必ず3の倍数になる。
ということは、除外するのはa+1かa+2のどちらか

2021=673×3+2=672×3+
a+(a+2)+(a+3)=3a+5

+5が共通する。除外するのはa+1。
3a=672×3
a=672
a+1=673


大問2(文字式)

(1)①
活用の問題。きちんと情報整理すること!
花子のグループは特別割引の適用を受ける。
大人が2人だから、子供2人分が無料になる。
500×2+200×1=1200円

太郎のグループが特別割引の適用を受けた場合、
500×3+200×2=1900円
月末割引の場合は大人1人が450円、子供1人が150円になる。
450×3+150×5=2100円
差額は200円。
あ…1200、い…200


特別割引では子供料金が大人の人数分タダになる。
x<yのとき、子供料金はy-x人分

大人の料金…500x円
子供の料金…200(y-x)円
500x+200(y-x)
=300x+200y
(*x>yのときは子供料金がゼロ。すなわち、500x円になる)


特別割引は前問の300x+200y円。
月末割引は450x+150y円。

これらが等しくなるので、
300x+200y=450x+150y
150x=50y
3x=y

x:y=1:3のときに等式が成り立つ
すなわち、子供の人数yが大人の人数xの3倍のとき。

後半は、月末料金が安くなる場合(=特別割引が高くなる場合)を考える。
大人が1人増えると、特別割引では大人が+500円、子供が-200円、トータルで+300円。
月末割引では+450円。
ということは、大人の人数が増えるほど特別割引の方が安くなる
=大人の人数が減るほど月末料金の方が安くなる。

子供が1人増えると、特別割引では+200円、月末料金では+150円。
子供の人数が増えるほど、月末料金の方が安くなる。
う…3、ウ

(2)
Aは1つ、Bは2つ。
【少なくとも1人はAを選ぶ=全体-3人ともBを選ぶ
1-2/3×2/3×2/3
=19/27

大問3(関数)

(1)①
aの値が大きくなるほど、グラフの開きは小さくなる。


グラフの開きが小さくなるほどx軸方向は短くなるが、y軸方向は長くなる
極端なケースを考えてみるとわかりやすい。
a=1のとき、A(-1、1)B(2、4)
a=1000のとき、A(-1、1000)B(2、4000)
ABの長さは後者が圧倒的に長い。傾きが大きくなるほど長くなる。

(2)
a>0は下に凸のグラフ。
x=2のとき、最大値y=2
(2、2)を通る

y=ax2に代入。
2=4a
a=
1/2

(3)①
y=2x2に代入。
A(-1、2)⇒B(2、8)
右に3、上に6だから傾きは2。
Aから右に1、上に2移動して切片は4。
y=2x+4



△BEDと△OCDの面積が等しい⇒この手のタイプは他の部分を巻き込んでみる。
各々の三角形に△BDOを足すと、△BEOと△BCOの面積が等しいことになる。
等積変形により、CE//OB

OBの傾きは4。
E座標は前問の式の切片で(0、4)
CEの式は、y=4x+4
AOの式は、y=-2x

Cはy=4x+4とy=-2xの交点だから、
4x+4=-2x
x=-2/3


大問4(平面図形)

(1)
△ACD∽△EBDの証明。

これは大丈夫でしょう。
円周角の定理と対頂角で2角が等しい点を指摘して∽。

(2)

弧BCの円周角と二等辺の底角で∠aを移動させる。
求めたいのは∠OCDの大きさ。ここからどうつなげよう(´°ω°`;)

ポイントは、∠CBEを2つの角(×)に分けること
半径よりOB=OC、△OBCは二等辺で∠OCB=
弧AEに対する円周角より、∠ACE=×
直径に対する円周角より、∠ACB=90°
したがって、∠OCD=90-(×)=90-a°

(3)

ADとDEの長さの比が知りたい。
ADとDEそれぞれを1辺とする三角形の相似を探す
・・(1)で△ACD∽△EBDを証明済みである(σ・Д・)σ

ACに対応する辺はEB。
有名角の60°を活用して特徴のある図形を調べ、EBの長さを知る。

∠BOE=180-60=120°
半径より△OBEは二等辺三角形で、内角は120°-30°-30°。
これをOからBEに垂線OHをひいて二等分すると、例の直角三角形があらわれる。

OB=5÷2=5/2cm
直角三角形OBHの辺の比は1:2:√3でHはEBの中点だから、
EB=5/2×√3/2×2=5√3/2cm

△ACD∽△EBDで、AC:EB=AD:ED
=3:5√3/2=6:5√3=1:5√3/6
(*『ADの長さの何倍か』だから基準となるADを1にする
よって、DEの長さはADの長さの
5√3/6倍。

(4)

AC=CDとなるように図を描きなおす。
対頂角と弧BCで等しい角()を移動させると、△BDEも二等辺三角形。
また、△ABCは辺の比が3:4:5の直角三角形ゆえ、BC=4cm

求積したいのは△OEBだが、これと相似関係にある三角形が見当たらない。。

ここで、AEに補助線をひく
OはABの中点だから、△OEBの面積は△AEBの半分である。
また、△ACBと△AEBは底辺がABで共通しており、高さの比はCD:DEにあたる
△ACBの面積は、3×4÷2=6cm2
CD=3cmもわかっている。
ということは、DEの長ささえわかれば、△ACB:△AEB=CD:DEを利用して
△AEBの面積がわかり、それを半分にすれば△OEBの面積になる

DEの長さを知りたいが、下半分の情報が乏しい(;°;ω;°;)

ポイントは3:4:5の直角三角形の相似
CからABに垂線CHを引くと、△CHAも3:4:5の直角三角形。
CA=⑤とすると、AH=③
△ACDは二等辺三角形で、CHを対称の軸とするとDH=AH=③
AD=3×⑥/⑤=18/5cm
DB=5-18/5=7/5cm

いったん比を整理する。
CD:AD:DB
=3:18/5:7/5
=⑮:⑱:⑦
△ACD∽△EBDより、DE=⑱×⑦/⑮=〇42/5

CD:DE=⑮:〇42/5=75:42=25:14
したがって、△AEBの面積は、6×14/25×1/2=42/25cm2
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