2021年度 福島県公立高校入試過去問【数学】解説

平均24.2点(前年比;+2.4点)

問題はコチラ→PDFファイル
出題範囲の縮小は標本調査。

大問1(計算)

(1)① 99.1%
3×(-8)
=-24

② 84.3%(部分正答8.7%)
1/2-5/6
=-1/3

③ 87.1%
-8x3÷4x2×(-x)
=2x2

④ 90.6%
√50+√2
=5√2+√2
=6√2

(2) 79.8%
n角形の内角の和⇒180(n-2)
180×(6-2)=720°

大問2(小問集合)

(1) 68.6%
√2=1.41421356…( 一夜一夜に人見ごろ)
-2√2=-2.828…
-3<-2√2

(2) 75.0%
126×2/7
=36人

(3) 41.9%(部分正答0.3%)
花屋から駅までの600mを毎分60mで歩く。
600÷60=10分

(20、
1200)から遡る
20分の10分前に花屋を出発する⇒(10、600)
これらをを結ぶ。花屋には6分間、滞在していたことになる。

(4) 43.3%(部分正答0.2%)
x=2のとき、y=4a
x=6のとき、y=36a
変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)
=(36a-4a)÷(6-2)
=8a=-4
a=-1/2

@別解@
y=ax2において、xの値がp→qに増加するときの変化の割合はa(p+q)
a(2+6)=-4
a=-2

(5) 92.7%

イを底面にして組み立てるとわかりやすい。
もしくは、上のようにオを90°回転させるとアイウオが一列になるから、
これら4つが側面となり、Aとエが平行となる。

大問3(確率&資料問題)

(1)① 71.2%
Dに止まるには2a+bの値が3・8・13…になればいい。
◆2a+b=3
(a、b)=(1、1)だが、bに1がない!×
◆2a+b=8
(2、4)(3、2)
◆2a+b=13

(4、5)
◆2a+b=18
最大で2×4+5=13だから、もう無い。

3通り

② 14.7%!(部分正答5.1%)
なんとか全部調べずに済む方法はないか。。

先にaを決める。
a=1、2、3、4のとき、コインは順にC、E、B、Dに止まる。

ここからbの分だけ反時計回りにコインを動かす。
bは2~5だから、1個先以外にコインが止まる
CだったらD以外、EだったらA以外、BだったらC以外、DだったらE以外に止まる。
…ということは、Bに最も止まるのでは?

Bに止まるには、2a+bの値が1、6、11、16…
◆2a+b=1
無い。
◆2a+b=6
(a、b)=(1、4)(2、2)
◆2a+b=11
(a、b)=(3、5)(4、3)
◆2a+b=16
これ以上は無い。
合計4通り。確率は4/16=1/4

(2)① 64.2%
範囲(レンジ;range)=最大値-最小値
46-(最小値)=31
最小値は15m。

② 49.6%(部分正答20.9%)
答案では理由も記述するが、階級を示して比較すれば足りる。

25回の中央値(メジアン)は、(25+1)÷2=13番目
中央値が含まれる階級はAが25m以上30m未満、Bが30m以上35m未満。
Bの方が大きい。


大問4(整数)

19.4%!(部分正答24.1%)
答案では過程も記述する。

途中で百の位と一の位をチェンジする。
百の位をx、一の位をyとすると、十の位はx-2

位の和が18だから、
x+(x-2)+y=18
2x+y=20 …①

百の位と一の位をチェンジして、
{100x+10(x-2)+y}-{100y+10(x-2)+x}
=99x-99y
=99(x-y)=99
x-y=1 …②

①と②の連立を解くと、x=7、y=6
十の位は7-2=5
はじめの自然数は
756。

大問5(平面図形)

18.7%!(部分正答24.8%)
証明問題。

方針は立てやすい。
AFを1辺とする△ABF、DGを1辺とする△DBGの合同を指摘する。

仮定より、AB=DB …①
仮定より、∠BAF=∠BDG(
) …②
仮定より、∠ABC=∠DBE
あいだの角である∠CBEをひいて、∠ABF=∠DBG(×) …③

①、②、③より、1辺と両端角が等しく、△ABF≡△DBG
対応する辺は等しく、AF=DG

@別解@

公式解答の2つ目は、1辺両端角相等で△EBG≡△CBFを指摘する。
対応する辺でEG=CF
△ABC≡△DBEの対応する辺でAC=DE
AF=AC-CF、DG=DE-EGから、AF=DGを導く。


大問6(関数)

(1) 67.2%
Pはy=1/2x+4とy=-1/2x+2の交点。
1/2x+4=-1/2x+2
x=-2

y=1/2x+4にx=-2を代入。
y=1/2×(-2)+4=3
P(-2、3)

(2)① 45.4%(部分正答0.5%)

y=1/2x+4にy=6を代入。
R(4、6)
y=-1/2x+2にy=6を代入。
S(-8、6)

△PRSの底辺SRは4-(-8)=12、高さは6-3=3
面積は12×3÷2=18

② 4.7%!!(部分正答0.2%)

AとBのy座標はそれぞれの式の切片。
△ABPの面積は、2×2÷2=2
△PRSの面積は、2×5=10になればいい。

ここで、前問の△PRSの底辺12、高さ3に着目する
tはQのy座標。
tの値を変えるとSRが上下に平行移動する。

ということは、底辺と高さの比は相似で変わらない
Pから垂線、SRの交点をTとおく。
PT:SR=3:12=①:④
TPをxとすると、SRは4x。

4x×x÷2
=2x2=10
x>0だから、x=√5

求めたいtは、Pのy座標にTPを足せばいい。
t=3+√5

大問7(空間図形)

(1) 67.2%
△ABCは等辺が2cmの直角二等辺三角形。
辺の比は1:1:√2→AC=
2√2cm
仮定より、AE=AC=2√2cm

(2) 48.2%

△OACは二等辺三角形。
Oから垂線、足をHとする。HはACの中点である。
△OHCで三平方→OH=√7
△OACの面積は、2√2×√7÷2=
√14cm2

(3) 1.2%!!!
前問の△OAC=√14cm2を利用できないものか。。

∠OCAが共通角であることに注目して、
2つの二等辺三角形は2角相等で相似である⇒△OAC∽△AEC

辺の比はOC:AC=3:2√2
面積比は辺の比の2乗なので、△OAC:△AEC=9:8
△AEC=√14×8/9=8√14/9cm2

四角錘E―ABCDにおいて、
△AECを底辺とすると高さの合計は最大幅であるBD=2√2cmである。
8√14/9×2√2÷3=
32√7/27cm3

大問2
(3)ゴールからさかのぼる。
大問3
(2)箱に入っている数が違うので大変。
時間ロスが気になったら後回し。
大問4
何を文字に置き換えるか。
小問がないので、1個ずつ丁寧に処理する必要がある。
大問5
昨年よりやりやすい。
方針が立てやすく、内容も標準レベル。
大問6
(2)②tの値を変える⇒△PRSの相似図形
これに気づければ処理が楽ちんである。
大問7
(3)
解説では前問の利用を試みたが、Eから垂線をひいて高さの比でも良い。
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