2022年度 大阪府公立高校入試C問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
2022年度・大阪(数学)A問題B問題の解説はコチラ。

大問1(小問集合)

(1)
(3a-b)/4-(a-2b)/6
={3(3a-b)-2(a-2b)}/12
=(9a-3b-2a+4b)/12
=(7a+b)/12

(2)
【x-16y+10=5x-14=-8y】
x-16y+10=-8y
x-8y=-10 …①
5x-14=-8y
5x+8y=14 …②

①+②をして、6x=4
x=2/3
①に代入、8y=2/3+10=
32/3
y=4/3
x=2/3、y=4/3

(3)
2-y2
=(x+y)(x-y)
={(√15+√5)+(√15-√5)}{(√15+√5)-(√15-√5)}
=2√15×2√5
=20√3

(4)
グラフを見ると右上だからaは正のように思えるが、
ちゃんと式を整理してみよう。
ax+by=1
by=-ax+1
y=-a/bx+1/b

切片1/bはx>0だから正。
【1(正)÷b=正】だからbも正の数である。
グラフは右上だから、-a/bは正。
【-a/b=-a÷b=正】→【a÷b(正)=負】だからaは負の数。

2022年度 埼玉県公立高校入試・学校選択過去問【数学】解説

平均ダダ下がりの埼玉学校選択・大問1(9)にて似たようなのが出ています。

5)
3枚の取り出し方は、32×31
=9通り
a<b<cの条件で、ac/bが自然数となる組み合わせを探すが、
時間を使いすぎると危ういので後回しでもいい。
分母のbで場合分け
●b=1
bは2番目に小さい数でなくてはならない。×
●b=2
a=1だから(1×c)/2
cは箱Aから選ぶので、c=4、6
●b=3
3は箱Bにあるので、aは箱Aの2。
(2×c)/3で、箱Aから選んでc=6
●b=4
分母が4=22ということは、分子に2の素因数が2つ必要だが、
箱Aは2と6、箱Bは奇数しかないので、分子を4の倍数にできない!×
●b=6
c=9が確定。(a×9)/6でa=2、4
●b=9
bは2番目に小さい数である。×
以上5通りなので、確率は
5/9。

(6)
度数分布表が見当たらないが、分数の問題に帰結する。
215cm以上220cm未満の階級の度数で、
サッカーをxとすると、バレーはx+3。
相対度数で等式を立てると、
x/32=(x+3)/20 ←通分の要領で…
20x=32(x+3)
x=8
8人

(7)
2段階文字式(;°;ω;°;)
mの十の位をa、一の位をbとする(a≠0)
m=10a+b
n=a+b

11n-2m
=11(a+b)-2(10a+b)
=11a+11b-20a-2b
=-9a+9b
=9(b-a)

50≦9(b-a)≦60
9(b-a)は9の倍数だから、9×=54しかない
b-a=6
(b、a)=(9、3)(8、2)(7、1)
*a≠0だから(6、0)は×
m=10a+bなので、m=17、28、39

(8)
答案では途中式を含めた求め方も書く。
平行四辺形の頂点で、かつ直線ℓ上にあるDに目星をつける
D座標をtで表せないか。

A(t、-1/3t2)B(-t、1/3t2
平行四辺形ABDEでAからEまでの移動とBからDまでの移動は同じ
Bから左にt、下に4移動してDなので、Dのx座標は-2t
これを直線ℓの式に代入して、y=1/3×(-2t)-1=-2/3t-1
D(-2t、-2/3t-1)

CE=4cm、Dのy座標と立式する。
1/3t2-(-2/3t-1)=4
2+2t-9=0
解の公式を適用、t>0よりt=-1+√10


大問2(平面図形)

(1)
半径がa/2cmの円の面積を求める。
(a/2)2π
=πa2/4cm2

(2)
△ABC∽△COGの証明。

AB//GCの錯角で、∠BAC=∠OCG
もう1つの等角を見抜けるか。
ここで妙な位置にある直角二等辺三角形DECを使う。
∠CDF=45°は孤FCに対する円周角で
この中心角にあたる∠COG=45×2=90°
∠ABC=∠COG
2角が等しいから∽。

(3)①
OGは△COGの1辺⇒前問の相似を試みる。

△ABCで三平方→直径AC=√34cm
半径OC=√34/2cm
△ABC∽△COGより、AB:BC=CO:OG=3:5
OG=√34/2×5/3=5√34/6cm



OGとOCの長さがわかったので△COGの面積がでる。
△COGから△FEGをひけば、求積すべき四角形OFECがでる
2角相等で△COG∽△FEG
半径でOF=OC=√34/2cm
FG=5√34/6-√34/2=√34/3cm

相似比は△ABCと同じ、3:5:√34
FE=√34/3×③/〇√34=1cm
EG=1×⑤/③=5/3cm
四角形OFECの面積は、√34/2×5√34/6÷2-5/3×1÷2
=25/4cm2

@別解@
OGの誘導無しで解いてみます。

△ABC∽△COG×=90°から、∠BCE=90°
BAとEDを延長、交点をHとする。
四角形BHECは長方形である。
ADを結ぶ。

直径ACに対する円周角で、∠ADC=90°
△CDEは直角二等辺三角形。=45°だから△ADHも直角二等辺
ここで、AH=HD=x、CE=ED=yとする。
長方形の縦の長さで、3+x=y …①
横の長さで、x+y=5 …②
①、②の連立を解くと、x=1、y=4

直角二等辺ADHで1:1:√2⇒AD=√2cm
つぎに、△ACDと△FCEに着目する。
∠ADC=∠FEC=90°
直角二等辺COFの内角で∠OCF=45°
直角二等辺CDEの内角で∠DCE=45°
これらからあいだの角の∠DCFをひいて、∠ACD=∠FCE
2角相等で△ACD∽△FCE
相似比はDC:EC、すなわち、直角二等辺CDEの辺の比√2:1。
AD:FE=√2:1
FE=1cm

四角形OFEC=△COF+△FCE
=√34/2×√34/2÷2+4×1÷2
=17/4+2
=25/4cm2

大問3(空間図形)

(1)①

△DEFは二等辺三角形。
高さを三平方で算出→2√21cm
面積は、8×2√21÷2=8√21cm2



Aを通るDEに平行な線分をひく。
三平方を適用して、AB=2√26cm

AC//HGより、△ABC∽△HBG
AH:HB=CG:GB=③:①
HB=2√26×①/④=√26/2cm


ADとBIを延長、交点をMとする。
DH//MBから△ADH∽△AMBより、AD:DM=③:①
DM=1cm

△DIM∽△EIBより、DI:IE=①:⑤
DE=10cmなので、DI=10×①/⑥=5/3cm

(2)①

AD//KJ//BEから平行線と線分の比よりAK:KB=4:6=②:③
LK//CBで△AKL∽△ABC、LK=8×②/⑤=16/5cm



断頭三角柱。
上図のように、各辺の中点にN・O・P・Qをつくる。
(立体を上からみるとANは二等辺ABCを真っ二つに割る線分である)
対称面である△PNOを底面とみなす
前問のDJ:JE=2:3から、DQ:QO=②:③
(1)①の2√21cmをもってきて、QO=2√21×③/⑤=6√21/5cm
△PNOの底辺はNO=5cm、高さは6√21/5cm。

立体の高さはBC・EF・KLの平均で、(8+8+16/5)÷3=32/5cm
したがって、立体の体積は、5×6√21/5÷2×32/5=
96√21/5cm3
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