2022年度　島根県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均24.7点（前年比；－0.2点）

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大問１（小問集合）

（１）
（－２）×３－４
＝－６－４
＝－10

（２）
140＝２²×５×７

（３）
６/√３＋√15÷√５
＝２√３＋√３
＝３√３

（４）
ａ÷10＝ｂ…３
ａ＝10ｂ＋３

（５）
ｘ－３ｙ＝５　…①
３ｘ＋５ｙ＝１　…②
①×３－②をすると、－14ｙ＝14
ｙ＝－１
①に代入して、ｘ＝２
ｘ＝２、ｙ＝－１

（６）
ｘ²＋ｘ－６
＝（ｘ＋３）（ｘ－２）＝０
ｘ＝－３、２

（７）
有理数→分数で表せる数。
無理数→分数で表せない数。
0.5＝１/２〇、１/３〇。√２×、√９＝３＝３/１〇、
π＝3.141592…循環しない無限小数は×！
ウ・オ

（８）

同位角と対頂角で角を移動する。
赤線で外角定理→ｘ＝60－25＝35°

（９）

青線で三平方→√21ｃｍ

（10）
抽出した200個のうち、白：黒＝180：20＝⑨：①
黒は全部で100個だから、白全部は100×⑨＝900個
イ

（11）
全体は、６×６＝36通り
１/12＝３/36
結果が３通りとなる事象が答え。　
●和が１→×
●和が２→１＋１
●和が３→１＋２、２＋１
合計が３通りになるのは、和が３以下。

大問２（データの活用＆数量変化）

（１）①【１】
最頻値（モード）は最もあらわれている値。
13.0～13.5の階級値である13.25秒。

【２】
13.0秒未満は、１＋１＋２＋４＝８人
８÷20＝40％

②

ア：最小値はミナトの方が小さい。〇
イ：範囲（レンジ）＝最大値－最小値でミナトの方が大きい。
　しかし、四分位範囲＝Ｑ3（第３四分位数）－Ｑ1（第１四分位数）はユウキの方が大きい。×
ウ：中央値（Ｑ2；第２四分位数）に着目する。20回の中央値は10番目と11番目の平均。
　２人とも中央値が9.0を超えるので、9.0ｍ以上の記録は少なくとも10回はある。〇
エ：20回のＱ1は５番目と６番目の平均。５番目と６番目が8.5ｍのとき、8.5ｍ以下は６回になる。×
ア・ウ

（２）①
8000＋20×200＝12000円

②

基本料金は8000円→切片は8000
傾きは200。右に20進むと、上に4000あがる。
（20、12000）（40、16000）（60、20000）を通過する。

③

先ほどのグラフを用いる。
Ｑ社50冊は★だから20000円。
Ｐ社20000円は●で60冊。

④
１冊あたりの料金が400円となる冊数をｘとする。
印刷料金を２通りで表して等式を立てる。
8000＋200ｘ＝400ｘ
ｘ＝40
40冊以上

＠余談＠
こう考えることもできる。
１冊あたりを400円にしたい。
１冊追加するたびに200円かかるから、残りの200円で基本料金8000円を分割払いすればいい。
8000÷200＝40冊

大問３（規則）

（１）①
２番目…４枚
３番目…８枚
４番目…12枚
５番目…16枚
６番目は、４×５＝20枚

②
ｎ番目は、４（ｎ－１）＝４ｎ－１枚
問題文をよく見よう！『ｎ番目の次の図形をつくるとき』→つまり、ｎ＋１番目…。
ｎがｎ＋１に置き換わるので…４（ｎ＋１－１）＝４ｎ枚

＠余談＠

ｎ番目が４（ｎ－１）になるのは、魔方陣の考えで説明できる。

（２）①

平方数が互い違いに表れる。
ａ＝６×６＝36

②

５番目のとき、白25枚、黒16枚。
この理由は、図形を45度回転させると見えやすい。
白だけをみると縦５枚、横５枚で25枚。
黒だけをみると縦４枚、横４枚で16枚。

ｎ番目は偶数か奇数かわからなくても、
外側と同じ色の芝生はｎ²枚で、あいだに挟まれる色は（ｎ－１）²枚。
ｎ²＋（ｎ－１）²
＝２ｎ²－２ｎ＋１枚

（３）
 
計算では、30ｍ÷30ｃｍ＝100枚並べられるが、
真ん中の縦列をみると、【１、３、５、７、９…】といずれも奇数。
100未満の最大奇数である99枚まで芝生を並べられる。
99は何番目の奇数か？⇒（99＋１）÷２＝50番目
Ａ…99、Ｂ…50

大問４（関数）

（１）①
Ｂはｙ軸に関してＡと対称関係にある。
－６

②
ｙ＝１/４ｘ²にｘ＝６を代入して、Ａのｙ座標は９。
ｘの値が０から６まで増加するときの変化の割合→ＯＡの傾き。
原点Ｏ⇒Ａ（６、９）
右に６、上に９移動するから、傾きは９/６＝３/２

（２）①

菱形の対角線はおのおのの中点で交わる。
Ａのｙ座標を２倍してＰ（０、18）
菱形ＯＡＰＢの面積は、対角線ＡＢ×対角線ＰＯ÷２＝12×18÷２＝108

②
等積変形からＰＣ//ＢＡ→Ｃのｙ座標は18。
ＯＣ；ｙ＝３/２ｘにｙ＝18を代入して、ｘ＝12
Ｃ（12、18）

（３）①
ｙ＝－12/ｘにｙ＝－３を代入して４。

②【１】

平行四辺形の対辺は等しい。ＱＲ＝ＥＤ＝４
ＤとＥはｙ軸について対称関係→Ｄのｘ座標は２。
これをｙ＝１/４ｘ²に放り込んで、Ｄ（２、１）　

【２】

対角線ＥＲは平行四辺形ＤＥＱＲを２等分する。
辺ＥＤの中点か辺ＥＱの中点を通れば３：１に分けられる。
（もしくは、点（０、１）か点（－１、－１）を通過するでもＯＫ）

大問５（平面図形）

（１）
半径と接線は直交する。
∠ＯＰＡ＝90°

（２）
接線の作図。

∠ＯＰＡ＝90°を使う。
直径ＡＯに対する円周角ＯＰＡ＝90°と捉えれば、ＡＯを直径とする円周上にＰ、Ｐ’がある。
①ＡＯの垂直二等分線。中点が円の中心。
②円を描き、円周と円Ｏが交わる２点がＰとＰ’。

（３）
ＡＰ＝ＡＰ’（接線の長さは等しい）証明。

半径と接線は直交する。∠ＯＰＡ＝∠ＯＰ’Ａ
半径ＯＰ＝ＯＰ’、共通辺ＯＡ。
斜辺と他の１辺が等しいから△ＯＰＡ≡△ＯＰ’Ａ
対応する辺からＡＰ＝ＡＰ’

（４）①

●＋×＝90°で印をつける。イ

②
２角相等で△ＰＡＭ∽△ＯＰＭ。
求めたいＰＭの長さをｘとおく。
ＡＭ：ＭＰ＝ＰＭ：ＭＯ
３：ｘ＝ｘ：１
内項と外項の積で、ｘ²＝３
ｘ＞０、ｘ＝√３
ＰＭ＝√３ｃｍ

③
∠ＰＲＰ’は120°を維持しながら動く→円周角の定理

↑ＲがＡＯ上にある場合を考えてみる。（上下対称）
Ｐ・Ｒ・Ｐ’を通る円の中心をＱとする。
Ｒを含まない弧ＰＰ’の円周角ＰＲＰ’＝120°である。
その中心角は∠ＰＱＰ’＝120×２＝240°

求積すべき図形は斜線部分で扇形ＰＱＰ’から△ＰＱＰ’をひけばいい。
△ＰＱＭの内角は30°－60°ー90°で辺の比が１：２：√３。
前問よりＰＭ＝ＭＰ’＝√３、ＱＭ＝１、ＰＱ＝２
２×２×π×１/３－２√３×１÷２
＝４/３π－√３