2015年度 茨城県公立高校入試【数学】解説

平均55.4点
問題はコチラ→東京新聞さん

大問1(計算)

(1)1-7=-6

(2)(-3)2×2-5×3
=18-15=3

(3)2/3-7/10÷(-7/15)
=2/3+3/2=13/6

(4)2(x+3y)-(2x-y)
=2x+6y-2x+y=7y

(5)√8+√6×√3
=2√2+3√2=5√2

大問2(計算2)

(1)xでくくっておわり。
2+5x=x(x+5)

(2)連立方程式。
加減法でも代入法でも。x=1、y=2

(3)解の公式を利用。
x=(5±√13)/6

(4)aについて解く。
3a+b=10
3a=-b+10
a=(-b+10)/3 (b-10)/3でも可。

(5)内項と外項の積から、
3(x-2)=15×2
3x-6=30
x=12

小問3(小問集合)

(1)一次方程式。折り紙の枚数で等式を立てる。
5x-40=3x+24

(2)円周角定理から、∠ACB=38÷2=19°
錯角から∠DBC=38°
∠ODCは⊿CBDの外角なので、38+19=57°

(3)√ab>4 → √ab>√16 ab>16となればいい
(a,b)=(3,6)(6,3)(4,5)(5,4)(4,6)(6,4)(5,5)(5,6)(6,5)(6,6)
10通り。 10/36=5/18

大問4(関数)

(1)min:x=0のときy=0 max:x=-3のときy=9/2  0≦y≦9/2
yの最小値に注意

(2)A(2,2)B(-3,-4/3)
直線ABの式の傾きを求める。連立でがんばる。傾き2/3
面積が等しいので等積変形。傾き2/3でC(6,0)を通る線分。
0=2/3×6+b b=-4  y=2/3x-4
Dはこの式の切片なので、(0,-4)

大問5(動点)

(1)△ABHから辺の比が3:4:5なので、AH=8cm
つまり、ADとMNの距離は4cm。
5秒後の四角形AMPQは底辺5cm、高さ4cmの平行四辺形なので、5×4=20cm2

(2)15秒後にQがNにつくと、PもDにつく。
PはDで停止するが、Qは20秒後までCに向かう。
つまり、15秒以降は上半分の平行四辺形に加えて、下にできる三角形分の面積が増えていく
平行四辺形ABCDの面積は、15×8=120cm2
上半分の平行四辺形AMNDは、120÷2=60cm2
△MNQの面積を考える。底辺をCDとしたとき、平行四辺形ABCDの高さは120÷10=12cm
△MNQの底辺は(x-15)cm、高さは12cm
△MNQ=(x-15)×12÷2=(6x-90)cm2
よって、y=(6x-90)+60=6x-30 (15≦x≦20)



大問6(図形証明)

前半は誘導に従う。
ア・・等しい角度から逆算して、どこの弧になるかを探る。
イ・・うしろをみると外角定理を使用。
*図形に等しい角度を●してみるとわかりやすい。
ウ・・最終的に、⊿CAEが二等辺三角形であることを証明する。
”底角が等しい”性質もあるが、せっかく前半で△ACDと△ECBを検討しているので、
各々の辺であるCA=CEをとなれば、△CAEは二等辺三角形といえる。
つまり、始めに△ACD≡△ECB
→対応する辺が等しいのでCA=CE→△CAEが二等辺三角形。
合同の証明は、途中まで書かれているので容易。仮定と半径から2辺と間の角が等しくなる。

大問7(資料問題)

(1)最近ブームの資料問題。
10冊以上20冊未満は計74人。74÷181=0.408・・ よって、0.41。
小数第3位を四捨五入だから、答えは小数第2位までになる。

(2)表1と表2はリンクしていないっぽい。やや難。
小さい順に資料ならべると、4・7・10・13・16・19・20・28
このどこかにxと2xが入る。
10人でメジアンが15冊ということは、5人目と6人目の平均が15
5人目と6人目が(15、15)なら平均15となるが、15が2つない。
15に近い16に注目!(14、16)なら平均が15となる
14は5人目、16は6人目となるので、x=14
仮に2x=14だと、x=7となり、5人目が13、6人目が16。
メジアンが15にならない。よって14冊。

大問8(空間図形)

(1)DPは3cm×3cm×2cmの直方体の対角線の長さなので、
√(32+32+22)=√22cm

(2)めんどいと思われるが、計算は楽。
図形が複雑なので、どうすれば綺麗な感じにまとめられるかセンスが問われる。
この手の問題の攻略法は、延長線をつくって大きな三角錐をつくる

BF、AQ、CR方向に延長線をひくと1点に交わる。その交点をIとする
三角錐I-ABCの体積から、三角錐I-FQRと三角錐B-FQRの体積をひく。
相似から、IFは6cm。
三角錐I-FQRと三角錐B-FQRは、底辺が共通、高さ9cmの三角錐と一緒にまとめる
3×3×1/2×9×1/3-2×2×1/2×9×1/3
=(9-4)×1/2×9×1/3 ←分配法則
=5×1/2×3=15/2cm3
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