2015年度　茨城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均55.4点
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大問１（計算）

（１）１－７＝－６

（２）（－３）²×２－５×３
＝１８－１５＝３

（３）２/３－７/１０÷（－７/１５）
＝２/３＋３/２＝１３/６

（４）２（ｘ＋３ｙ）－（２ｘ－ｙ）
＝２ｘ＋６ｙ－２ｘ＋ｙ＝７ｙ

（５）√８＋√６×√３
＝２√２＋３√２＝５√２

大問２（計算２）

（１）ｘでくくっておわり。
ｘ²＋５ｘ＝ｘ（ｘ＋５）

（２）連立方程式。
加減法でも代入法でも。ｘ＝１、ｙ＝２

（３）解の公式を利用。
ｘ＝（５±√１３）/６

（４）aについて解く。
３ａ＋ｂ＝１０
３a＝－ｂ＋１０
ａ＝（－ｂ＋１０）/３　（ｂ－１０）/３でも可。

（５）内項と外項の積から、
３（ｘ－２）＝１５×２
３ｘ－６＝３０
ｘ＝１２

小問３（小問集合）

（１）一次方程式。折り紙の枚数で等式を立てる。
５ｘ－４０＝３ｘ+２４

（２）円周角定理から、∠ＡＣＢ＝３８÷２＝１９°
錯角から∠ＤＢＣ＝３８°
∠ＯＤＣは⊿ＣＢＤの外角なので、３８+１９＝５７°

（３）√ab＞４→√ab＞√１６　ab＞１６となればいい。
（a,b）=(3,6)(6,3)(4,5)(5,4)(4,6)(6,4)(5,5)(5,6)(6,5)(6,6)
１０通り。　10/36＝5/18

大問４（関数）

（１）min:x=0のときy=0 max:x=-３のときy=9/2 　0≦y≦9/2
ｙの最小値に注意！

（２）Ａ（２，２）Ｂ（-３，－４/３）
直線ＡＢの式の傾きを求める。連立でがんばる。傾き２/３
面積が等しいので等積変形。傾き２/３でＣ（６，０）を通る線分。
０＝２/３×６＋ｂ　ｂ＝－４　　ｙ＝２/３ｘ－４
Ｄはこの式の切片なので、（０，－４）

大問５（数量変化）

（１）△ＡＢＨから辺の比が３：４：５なので、ＡＨ＝８ｃｍ
つまり、ＡＤとＭＮの距離は４ｃｍ。
５秒後の四角形ＡＭＰＱは底辺５ｃｍ、高さ４ｃｍの平行四辺形なので、５×４＝２０ｃｍ²

（２）１５秒後にＱがＮにつくと、ＰもＤにつく。
ＰはＤで停止するが、Ｑは２０秒後までＣに向かう。
つまり、１５秒以降は上半分の平行四辺形に加えて、下にできる三角形分の面積が増えていく。
平行四辺形ＡＢＣＤの面積は、１５×８＝１２０cm²
上半分の平行四辺形ＡＭＮＤは、１２０÷２＝６０cm²
△ＭＮＱの面積を考える。底辺をＣＤとしたとき、平行四辺形ＡＢＣＤの高さは１２０÷１０＝１２cm
△ＭＮＱの底辺は（ｘ－１５）ｃｍ、高さは１２ｃｍ
△ＭＮＱ＝（ｘ－１５）×１２÷２＝（６ｘ－９０）cm²
よって、ｙ＝（６ｘ－９０）＋６０＝６ｘ－３０　（１５≦ｘ≦２０）

大問６（図形証明）

前半は誘導に従う。
ア・・等しい角度から逆算して、どこの弧になるかを探る。
イ・・うしろをみると外角定理を使用。
*図形に等しい角度を●してみるとわかりやすい。
ウ・・最終的に、⊿ＣＡＥが二等辺三角形であることを証明する。
”底角が等しい”性質もあるが、せっかく前半で△ＡＣＤと△ＥＣＢを検討しているので、
各々の辺であるＣＡ＝ＣＥをとなれば、△ＣＡＥは二等辺三角形といえる。
つまり、始めに△ＡＣＤ≡△ＥＣＢ
→対応する辺が等しいのでＣＡ＝ＣＥ→△ＣＡＥが二等辺三角形。
合同の証明は、途中まで書かれているので容易。仮定と半径から２辺と間の角が等しくなる。

大問７（データの活用）

（１）１０冊以上２０冊未満は計７４人。７４÷１８１＝０．４０８・・　よって、０．４１。
小数第３位を四捨五入だから、答えは小数第２位までになる。

（２）表１と表２はリンクしていないっぽい。やや難。
小さい順に資料ならべると、４・７・１０・１３・１６・１９・２０・２８
このどこかにｘと２ｘが入る。
１０人でメジアンが１５冊ということは、５人目と６人目の平均が１５。
５人目と６人目が（１５、１５）なら平均１５となるが、１５が２つない。
１５に近い１６に注目！（１４、１６）なら平均が１５となる。
１４は５人目、１６は６人目となるので、ｘ＝１４
仮に２ｘ＝１４だと、ｘ＝７となり、５人目が１３、６人目が１６。
メジアンが１５にならない。よって１４冊。

大問８（空間図形）

（１）ＤＰは３ｃｍ×３ｃｍ×２ｃｍの直方体の対角線の長さなので、
√（３²＋３²＋２²）＝√２２ｃｍ

（２）めんどいと思われるが、計算は楽。
図形が複雑なので、どうすれば綺麗な感じにまとめられるかセンスが問われる。
この手の問題の攻略法は、延長線をつくって大きな三角錐をつくる。

ＢＦ、ＡＱ、ＣＲ方向に延長線をひくと１点に交わる。その交点をＩとする。
三角錐Ｉ－ＡＢＣの体積から、三角錐Ｉ－ＦＱＲと三角錐Ｂ－ＦＱＲの体積をひく。
相似から、ＩＦは６ｃｍ。
三角錐Ｉ－ＦＱＲと三角錐Ｂ－ＦＱＲは、底辺が共通、高さ９ｃｍの三角錐と一緒にまとめる。
３×３×１/２×９×１/３－２×２×１/２×９×１/３
＝（９－４）×１/２×９×１/３　←分配法則
＝５×１/２×３＝１５/２cm³
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