2018年度 栃木県公立高校入試【数学】解説

記述式が5題。
基本~標準問題が多いです。
最後の正方形はぬかりなく調査できるかどうか。
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(計算)

(1) 98.7%
(-12)÷3=-4

(2) 85.8%
1/4xy3×8y=2xy4

(3) 93.4%
√2+√18
=√2+3√2
=4√2

(4) 92.7%
(x+4)2
=x2+8x+16

(5) 81.5%
5a+2b=7c
5a=-2b+7c
a=(-2b+7c)/5

(6) 77.5%
不等式で表す。「より軽い」→未満。
6x+7<900

(7) 80.9%
内項と外項の積は一緒。
5:(9-x)=2:3
2(9-x)=5×3
18-2x=15
2x=3
x=3/2

(8) 70.9%
錘の体積:底面積×高さ×1/3
5π×7×1/3=35/3πcm3

(9) 85.1%
連立方程式
代入法でも加減法でもOK。
x=2 y=-3

(10) 79.9%
2-6x-7=0
(x-7)(x+1)=0
x=-1、7

(11) 58.5%
1つの内角が150°ということは、その外角は30°
多角形の外角の和は常に360°で、
本問は正多角形だから、どの外角も30°
よって、360÷30=12 → 正十二多角形

(12) 94.3%
3本目の平行線をひく。

同位角と錯角を駆使して、、
x=43+36=79°

(13) 71.0%
最も多い階級=モード
モードは130~150の階級で12人。
12/40=3/10=0.3

(14) 63.5%
傾き=(yの増加量)/(xの増加量)
y={-42-(-12)}/(4-1)=-15/3=-5
ここまでで28点ですね(‘ω’)

大問2(小問集合)

(1)作図  43.7%
Aから最も遠い円周上のP→Aを通る直径でA側にない円周上の点
あとはどんな調理法でも。
適当な垂直二等分線の交点から円の中心点を求めてもよいし、
公式解答のようにAから円周にむけてピョコピョコ→2つの交点の二等分線でもOK

(2)確率  56.5%
素数は組み合わせは、
(1.3)(2.3)(3.1)(4.1)(4.3)の5通り
(*11も素数だけど、1は2回選べないよ!)
2枚えらぶ組み合わせは、4×3=12通り
よって、5/12

(3)関数  50.4%
Bのx座標は2。y=-5/4xへ放り込み。
y=-5/4・2=-5/2
Bのy座標が-5/2。
Aのy座標は、
6-│-5/2│  ←距離なので絶対値計算
=6-5/2=7/2
A(2、7/2)
これをy=a/xへ代入。
7/2=a/2   a=7

大問3(式の証明)

記述式解答。詳細は公式解答にて。
(1)整数の証明。 18.2%! 部分正答含-40.2%
5円硬貨の枚数をbとして、等式をたてる。
4倍の証明なので、最終形態は4( ~~~ )の形。
( ~~~ )内が整数である指摘して、4( ~~~ )が4の倍数と示す。

(2)2次方程式  28.6%! 部分正答含-61.6%
等式を立てて解く。長さはx>0なので、x=3となる。

大問4(平面図形)

(1)合同図形の証明  42.6% 部分正答含-88..7%
等しい辺・角度に記号をふる。
二等辺三角形の底角が等しいので、
ここから1辺とその間の角が等しいことを指摘する。

(2)①  20.6%!
都立の大問4にも似たような設問がある。
∠ACBは直径ABに対する円周角で90°
∠ADO=∠ACB=90°
同位角が等しいので、DO//CB
同位角から∠EOD=∠OBCとなるので、
∠EODをaで表せればいい。
△OEDは半径からOE=ODの二等辺三角形で、
∠ODE=a
∠EOD=180-2a  よって、∠OBC=180-2a°

②  18.7%!
ドーナッツ型の面積を求める。
外側と内側の円の半径が知りたいところ。
外側の半径は、△ACBが直角三角形なので三平方から、
AB=√(122+42)=√160=4√10
よって、外側の半径は2√10cm
内側の円の半径はDO。
前問の通り、DO//CB→2角の等しさから△ADO∽△ACB
AO:AB=1:2なので、DO:CB=1:2
DO=2cm
ドーナッツの面積は・・
2√10×2√10×π-2×2×π
=40π-4π=36πcm2



大問5(数量変化)

情報を的確に整理!
P;A→B→C  3cm/s
Q;A→C→B  5cm/s
(1)①  62.0%
グラフをもとに答える。
y=ax2
(10、600)の点を通るので、
600=102
a=6
(*10秒後にPはB、QはCに同時について、
△APQは△ABCの面積と等しくなります)

②記述式。 37.1% 部分正答含-50.7%
直線の式を求める。
傾きは、右に5、下に600だから、
-600/5=-120
(15、0)の点を通るので、
y=ax+bに代入して切片を求める。

(2)①  67.6%
数量変化の意味を読み取る。
10秒後にPはB、QはC→面積は△ABC
15秒後にPとQが辺BC上で出会い、△APQはゼロ。
18秒後は【QがBにつく】。
なぜなら、10秒後はP・Qともにゴールまで残り40cmなので、
Qの方が速いから、Qが先に着きます。  → ウ
(*A-C―B間が90cmだから、90÷5=18秒)

②  37.7%
18秒以降は、辺BC上のPがCに向かう途中。
15~18秒間はPとQが互いに離れていくので、
△APQの底辺PQは毎秒8cm伸びていく。
18秒以降はQが止まり、Pだけが動くので、
底辺PQは毎秒3cmしか伸びない。
変化の割合は、15~18秒より18~秒の方が小さくなる。
傾きの緩いⅠが正しい。 → ア

(3)  2.7%!
Ⅰのグラフで500cm3あたりのところに横線をひいてみよう。
3度目に500cm3となるのは、18秒以降。
底辺をABとすると、高さはPB。
PB=500×2÷30=100/3
Pが動く距離は、
30+100/3=190/3cm
Pは秒速3cmなので、、
190/3÷3=190/9秒後

大問6(条件文)

栃木数学の個性(p_-)
(1)  51.3%
ルールを理解しているかチェック!
〔4×4〕の正方形が1つ。
〔2×2〕の正方形が2つできます。
よって、2cn

(2)  10.0%!
縦がn、横が3n+1

〔n×n〕が3つ。〔1×1〕がn個できる。
よって、n+3個

(3) 3.5%!! 部分正答含-6.7%!
ここも記述式。
これがイメージできれば一発↓

赤いところで2つの等式が得られる。ここから連立を組む。

(4) 0.5%!!! 部分正答含-1.4%!
満点をとらせない問題。
横が56cm。3種類の正方形が5つできた。
サイズを大・中・小として、小の1辺をxとおいてみよう。
↑この3つしかないはず。
大は必ず左に1つ。
大が3つ連ねると、残りが中・中となり、小が作れない。
だから、大の枚数は1~2枚
あとは、小の1辺をxとおいて、横の長さで56を割り切れるよう、
正方形を縦や横にあっちこっち配置して、自力で探す。
長方形の縦の長さは、21・32・40cmとなる。
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