2019年度　筑波大学附属駒場中学過去問【理科】大問６解説

問題ＰＤＦ
白黒２種類のたくさんの積み木と１枚の板を用意した（図１）。

積み木は白黒とも１辺が５ｃｍの立方体で重さは等しく、色だけ違う。
板は長さ３５ｃｍで、５ｃｍごとに区切ったＡ～Ｇの積み木を積む場所がある。
まず、机の上に黒い積み木を１つ置き、Ｄが重なるように板をのせた（図２）。
次に、この上にいろいろな積み方で積む木をのせて観察した。
以下の文の（　①　）～（　⑦　）に当てはまる数値を答えなさい。

【操作１】
白い積み木を１つ使う。これをＡに積むと、板の左はしが下がった。
Ｂに積むと水平のままだった。Ｃ～Ｇに順番に積んでみると、
Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆでは板は水平のままだったが、Ｇでは右はしが下がった。

【操作２】
Ａ～Ｇに黒い積み木を１つずつ、計７個積んだ状態を「土台１段」とする（図３左）。

【操作１】と同じように、白い積み木を１つ積んでみたが、Ａ～Ｇのどこでも板のはしが下がることはなかった。次に、白い積み木をＡにだけ積み、その数を１個から２個、３個と増やしてみた。
すると、全部で（　①　）個積んだときに、板の左はしが下がった。
今度は、Ａ～Ｇに黒い積み木を２つずつ、計１４個積んだ状態を「土台２段」とする（図３右）。
「土台１段」と同じように、Ａに積む白い積み木の数を１個から２個、３個と増やしてみると、
全部で（　②　）個積んだとき、板の左はしが下がった。

【操作３】
白い積み木をつかって、図４のような階段状の積み方を考える。

図４の左から「２段」、「３段」、・・「７段」となる。それぞれの「段」をその形のまま板の上に積んでみた。「２段」では、階段の左はしがＡ～Ｆになる６通りの積み方があるが、このうおち板のはしが下がらないのは２通りあった。「３段」では、５通りの積み方のうち、板のはしが下がらないのは（　③　）通りあった。「４段」では、４通りの積み方のうち、板のはしが下がらないのは（　④　）通りあった。「５段」では、３通りの積み方のうち、板のはしが下がらないのは１通りあった。「６段」では、２通りの積み方のうち、板のはしが下がらないのは１通りあった。「７段」では、１通りの積み方しかないが、これをのせると板のはしが下がった。

【操作４】
「７段」の下に黒い積み木で「土台１段」、「土台２段」、・・・のように、土台を１段ずつ追加してみた。すると、「土台（　⑤　）段」となったとき、板が水平のままとなった。同じように、「６段」では、「土台（　⑥　）段」となったとき、すべての積み方で板のはしが下がらなかった。また、「５段」では、「土台（　⑦　）段」となったとき、すべての積み方で板のはしが下がらなかった。

＠解説＠
最初でコケると雪崩式で全敗の危険があります。
合否の分水嶺となった大問。
①３個　②４個　③２通り　④１通り　⑤４段　⑥５段　⑦５段
①最初で原理を掴まないと太刀打ちできない。
端以外の中５つでは水平だが、端に乗せたら下がった。
では、Ｂに１コ乗せたときになぜ下がらなかったのか。
板に注目！

板を無視する問題も多いが、注意書きがないので板も考慮する。
左に積み木を乗せても板が耐えたのは、板にも重さがあり、右側でふんばったから。
左が落ちそうなので、一番下の積み木の左上（図の●）を支点にして考えると、
板の７目盛り分のうち、３つずつは左右で同じなので打ち消し（図の━）。
残りは、左が積み木１コ、右が最もはなれた板の１目盛り分。
積む木の重さを①とおく。
支点からの距離１：２をもとに計算すると、板の１目盛り分は○0.5。つまり積み木半分の重さ。
厳密にいえば、積み木をＡとＢをまたぐように置けば、まだ板は水平をキープできるかもしれないが、問題文ではＡ～Ｇの７ヶ所しか積み木を置けないので、以下、板の１目盛り分は積む木１個の半分の重さを支えられると考える。

土台１段追加。
左が倒れそうなので、支点●は左。
支点を対象に左右で同じところを━で抹消。
右のモーメントは、積み木○1.5個分で支点からの距離が４だから、
○1.5×４＝６
左は支点からの距離が３なので、
６÷３＝②
すなわち、左端Ａに積み木を２個まで積むことができるので、３個目から倒れる。

②同様。土台を２段にする。

手順は、
①左右のいずれが倒れるか見極める。
本問は左端に積む木を載せるので左に倒れやすい。
だから、支点の位置●は左側にセットする。
②支点を基準に、左右で同じところを相殺。
③残ったところをモーメント計算。
計算結果が、左＞右だと倒れる。左＜右だと板は水平を維持する。
１０÷３＝○3.333･･･
積み木３個までは耐えられる。４個乗せると板は傾く。

③今度は階段上の積み木を板に乗せる。
２段だと水平を維持する組み合わせが２通りあるらしい。。

無難な乗せ方を考える。
最も数の多い列を真ん中（Ｄ）に乗せれば最も安定する。
左が落ちそうなので、支点を左にもってきて、左右で相殺。
モーメント処理をすると、右のモーメントが勝つ→板は水平。

先ほどの２段の積み木を左に１つ分ズラすと、３個の積み木が全部、支点の左にくるので倒れる。
右に１つ分ズラすと、左のモーメントが勝つので、板は水平を維持する。

では、３段ではどうか？
最も多いところを真ん中（Ｄ）にのせてみると、、、

左に積み木が３つくるので、支点は左。
モーメントを計算すると右が勝つので板は水平。

３段の６つの積み木を左に１つ分ズラすと、積み木６個が左に集中する。
だから、右にズラす。左に１つ、右に３つなので右が傾きそう→右に支点。
計算すると、左のモーメントが勝つので、板は水平。

さらに左にズラすと、積み木５個がＤより右にくるので右に傾く。
よって、２通り。

④４段を考える。

４つのところを真ん中（Ｄ）に乗せてしまうと、積み木６個が左に集中するので×。
３つのところを真ん中に乗せると、青のところが釣り合う。
（Ｄ列全てを支点と見たとき、左１に２つ＋左２に１つ。Ｄから右１に４つだから）
この形を左右に１つ分ズラすと積み木の数がどっちかに偏って傾く。
よって、１通り。

⑤７段を積む。

右に傾くので、右に支点をセット。左右で同じところを消す。
左は⑥、右○２２。
土台１段を追加すると、Ｂ～Ｇを相殺されるので、
Ａのところの積み木１個分が左のモーメントに加算。
支点からの距離は４なので、モーメントが④ずつ追加。
⑥＋④×４＝○22で、左右が釣り合う。
したがって、土台を４段追加すれば、板は水平。

⑥６段バージョン。

左のモーメント②、右はモーメント○２２。
土台１段で左に④のモーメントが追加なので、
（○22－②）÷④＝５段

⑦同じ。５段バージョン。

さっきとモーメントが同じになる。よって、５段。
こりゃ大変だわ(;￣Д￣)
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