2021年度 灘中学過去問【理科】大問6解説

〔A〕ある日、太郎くんは知り合いの金属加工業の人から金属製のコーン(円錐形)をもらいました。コーンは側面だけがあり、中身と底面はありません。好きなように加工してあげるよ、と言われたので実験してみました。面の厚みは一定とします。

問1
図1のようにコーンの中心軸ABのちょうど真ん中の点Cのところに糸をつけてつり下げるとどうなるでしょうか。正しいものを選びなさい。

ア:Aが下がる。 イ:Bが下がる。

問2
次に、コーンの真ん中よりもBに近い点Dのところに糸をつけてつり下げると、ABが水平になってつりあいました。点Dの位置を測ってみると長さの比はAD:DB=2:1になっていました。糸をはずし、コーンのDのところで(ABに垂直な平面で)切断してもらってA側とB側の2個に分けました。
(1)それらの重さのはかるとどうなっているでしょうか。正しいものを選びなさい。
ア:A側のほうが重い。 イ:B側のほうが重い。 ウ:重さは等しい。

(2)A側の重さとB側の重さの比を、整数比で答えなさい。

 

〔B〕またある日、太郎くんはその人から、図2のような直径48cm重さ480gの金属製の球殻(中がからっぽの球のこと)をもらいました。好きなように加工してあげるよ、と言われたので、球の中心Cを通る平面で切断して(A側とB側の)2個の半球殻に分けてもらって、実験をしてみました。面の厚みは一定とします。
図3のように、A側の半球殻に糸をつけてつり下げてみたところ、「中心軸AC上でAから12cmの点Dにおける、ACに垂直な直線」が球面と交わる点Eに糸をつけたとき、中心軸ACがちょうど水平になってつり合うことを太郎くんは発見しました。糸をはずして、点Dを通りACに垂直な平面で半球殻を切断してもらい、図4の①と②の2個に分けて、それぞれの重さをはかりました。するとどちらも120gだったので、太郎くんはおどろきました。
太郎くんは考えて、あることを思いつき、それを確かめるために、その人にたのんで、残ったB側の球殻(図5)を3個に切断してもらいました。その3個の重さをはかると、太郎くんの予想通り、どれも80gでした。

問3
どのように切断してもらったと思いますか。
解答らんの図に、切断面を表す2本の直線をかきなさい。

問4
新たに球殻を用意し、図6のように、直径ABのBからXcmの点Fを通り、ABに垂直な平面で球殻を切断し、B側を捨てます。残ったA側に糸をつけて、AFが水平になるようにつり合わせるためには、糸をつける位置を、Aから何cmのところにすればよいでしょうか(図のYcmをいくらにすればよいか)。Yを、Xを用いた式で表しなさい(式の書き方はいろいろあるのでどのように書いてもよい)。


@解説@
問1:イ
太いB側の方が重い。

問2(1)イ
間違われやすいが、中学受験では既出ゆえ間違えられない。

重りを描くとわかりやすい。
支点から距離の短いB側が重い。

(2)A側:B側=4:5

理科というより算数。
AD:DB=②:①
横から見た図で辺の比を②:①として考える。
コーンの中身はなく、面の厚みが一定の円錐形なので、
面積を重さとみなし、面積比で計算する
A側…②×②=【4】
B側…③×③-【4】=【5】
A:B=4:5

問3:下図参照。

ACの中点を通るD-E面で割ったら、重さがちょうど半分ずつになったという。
なんとなく②の方が重そうだが(;`ω´)
半分になったのは、DがACの中点だからではないか?

半球240gで3個に分けたら80gずつになったということは、
半径CBをそのまま3等分すればよいのでは?

↑これが正解。

問4:Y=(48-X)÷2

予想さえ立てられたら、すぐ解けてしまう。。
AFの中点の真上に糸を吊るせばいい。

@@@

ところで、、
なぜそうなるのか???

サボも知らないので調べてみたら、それっぽいのを見つけました。

Fukusukeの数学めもより。
球を1つの平面で切ると球欠、その曲面を球冠といい、
球を2つの平面で切ったあいだの部分を球台、その曲面を球帯というそうです。

面積を重さとみなしているので、
円の直径を3等分したら球冠・球帯の面積も3等分されることになります。

球帯の面積は、もとの球から切断するときの厚さhに比例する
スッキリして美しいですね(‘ω’)

2の球冠の面積からr1の球冠の面積を引くことで球帯の面積が求まります。
もとの球の半径をRとすると、球冠の面積S=2πRh

2πRh2-2πRh1
=2πR(h2-h1
=2πRh
πは円周率で定数、球の半径Rを固定すれば球帯の面積Sの値はhに依存する。

なぜ球冠の面積は2πRHなのか。こちらのページを読んで、自分で考えてみましょう( ‘ᾥ’ )
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