2018年度 江戸川学園取手中学入試問題【算数】大問7解説

下の図のような直方体があります。
AB=8cm、AD=12cm、AE=18cmであるとき、次の問いに答えなさい。

(1)
辺BF上に点P、辺CG上に点Q、辺DH上に点Rをとります。
この直方体の表面上に、AからP、Q,Rを通りEまで、
距離がいちばん短くなるように線を引きます。
このとき、FPの長さは何cmですか。

(2)
辺EF上に点S、辺HG上に点T、辺DC上に点Uをとります。
この直方体の表面上に、AからS、T,Uを通りBまで、
距離がいちばん短くなるように線を引きます。
このとき、ESの長さは何cmですか。

(3)
直方体の面CDHG上において、(1)で引いた線と(2)で引いた線が交わる点をOとします。
このとき、OR:OQを答えなさい。
答えだけでなく、途中の計算や思考過程も書きなさい。

(4)
(1)の点R、(3)の点O、直方体の頂点Eの3点を通る平面でこの立体を切断するとき、
Aを含む立体の堆積は何cm3ですか。


@解説@
(1)
最も距離が短い→展開図で直線

△AEE’∽△PFE’より、
PF=18×32/40=72/5cm
頻出のパターンなので必答。

(2)
同じ。縦方向になっただけ。

少々書きにくい(;`ω´)
△AA’B’∽△AESより、
ES=8×18/60=12/5cm

(3)
(1)と(2)を合体!!(σ’д’)σ

作図に失敗すると、Oの位置がズレるので注意。
△AEE’∽△RHEより、
RH=18×12/60=27/5
また、QはAE’の半分なのでCGの中点にある→CQ=9

△ORA∽△OQBより、
OR:OQ=RA:QB
=27/5+12+18:12+9
=59:35

(4)

R・O・Eで切断する。
ということは、ROの延長線上にあるQも切られる

RからEは下へ27/5移動する。
切断面とBFとの交点をVとすると、
QからVも平行して27/5下がる。
VF=9-27/5=18/5
下の立体の体積を求める。
(底面積)×(高さの平均)
=(8×12)×{(27/5+9+18/5+0)÷4}
=8×12×9/2

よって、Aを含む立体の体積は、
8×12×18-8×12×9/2
=8×12×(18-9/2)
=8×12×27/2
=1296cm3
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