2020年度 清風南海中学SG・A入試問題【算数】大問3解説

下の図において、四角形ABCDは平行四辺形で、
DE:EC=1:4、CF:FG=1:1、AGとHFは平行です。
次の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

(1)BC:CG
(2)AD:DK
(3)AE:EJ:JG
(4)四角形ABCDの面積:三角形EIJの面積


@解説@
いかに時間を消費せずに攻略できるかも大事です。
(1)

△ADE∽△GCE
DE:CE=①:④より、AD:GC=□1:□4
平行四辺形ABCDから、AD=BC=□1
BC:CG=1:4

(2)

AG//HFを頼りに、△CFI∽△CGE
CF:FG=CI:IE=1:1(IはCEの中点!)
CI=IE=②

△BCI∽△KDIより、
DK=□1×③/②=□3/2
AD:DK=1:3/2=2:3

(3)

下準備として先に比を統一しておく。
先ほどAD:DK=2:3と出したので、□1を2倍してにチェンジ。

△AJK∽GJBより、AJ:GJ=AK:GB=⑤:⑩=1:2

定番の連比処理。
AJ:JG=1:2
AE:EG=1:4 ←(1)の∽
□3を最小公倍数△15で統一して、
AE:EJ:JG=3:2:15

(4)

↑使う比はここだけ。
平行四辺形ABCDより、AB=DC=⑤
(四角形AHIEは2組の対辺が平行なので平行四辺形。
AH=
EI=②、HB=⑤-②=③となる…が、出さなくても解けてしまう)
【上底+下底の比】より、平行四辺形ABCDの面積比をとする。
四角形ABIEはとなる。

ここから、△EIJ∽△ABJ
前問でAE:EJ=3:2と出したので、
△ABJの面積比を5×5=〔25〕、△EIJを2×2=〔4〕とすると、
四角形ABIE=〔25〕-〔4〕=〔21〕となる。

〔21〕=なので、△EIJ=×〔4〕/〔21〕=○4/3
したがって、四角形ABCD:三角EIJ=○4/3=15:2

@別解@
△HBI∽△EIJから、△HBIの面積をとおいて、
△EIJ=×(2×2)/(3×3)=○4/3でもいける。

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