2018年度 桜蔭中学入試問題【算数】大問4解説

下の図のように、立方体A、Bをはなれないようにくっつけて重りを作り、直方体の透明な水そうの中にひもでつるします。
重りの下の面は水そうの底面から5cmのところにあり、常に水そうの底面と平行です。
水そうの中は、最初水で満たされていて、底面の排水口から毎秒50cm3の割合で排水します。また、排水を始めると同時に、重りをつるしたひもを毎秒1/2cmの速さで、上にひきあげます。ただし、水の浮力やひもの体積、水そうの厚みは考えないものとします。ひもはのびたり、たるんだりしません。

(1)
水面の高さがAの上の面より1cm上になるのは、排水を始めてから何秒後ですか。

(2)
水面の高さがAの上の面より1cm上になったとき、今度はひもを毎秒1/2cmの速さで下ろすことにします。排水は変わらずに続け、重りは排水口をふさぎません。重りが水そうの底面に着地した後は、ひもを動かさず、排水だけ続けます。

重りが水そうの底面に着地したとき、水面は水そうの底面から何cmのところにありますか。


排水を始めてから75秒後、残っている水の体積は何cm3ですか。
このとき水面は水そうの底面から何cmのところにありますか。


@解説@
(1)
横から眺めると以下の感じ。

水槽の底面は15×15cm2なので、
1秒間に下がる水面の速さは、50cm3÷(15×15cm2)=2/9cm
Aの上面と水面は毎秒2/9+1/2=13/18cmずつ縮まっていく。
9cm縮まるのは、9÷13/18=162/13秒後(12・6/13秒後)

(2)①
初期状態(重りを上げ始めて)から(1)までに162/13秒後。
そこから下がって初期状態までは162/13秒後。
さらに10cmを毎秒1/2cmで下がるので、重りが底面に着地するのは、
162/13×2+10÷1/2=454/13秒後
水面は毎秒2/9cmずつ下がり、これは重りを下げるスピードより遅い。
(重りは常に水面下にある)
水面が下がる高さは、毎秒2/9cm×454/13秒=908/117cm
よって、重りが着地したときの水面の高さは、
30-908/117=2602/17cm(22・28/117cm)
イライライライラ~(#゚Д゚)


水槽の体積…15×15×30=6750cm3
2つの重りの体積…10×10×10+5×5×5=1125cm3
はじめにあった水の体積…6750-1125=5625cm3
75秒間に排水された水…50×75=3750cm3
残る水…5625-3750=1875cm3

重りBの周りの体積…
(15×15-10×10)×10=1150cm3
残りの水…1875-1150=725cm3
重りAがあるところの底面積…15×15-5×5=200cm2
したがって、10cm+725cm3/200cm2=10+25/8=105/8cm(13・1/8cm)

桜蔭は他の設問でも忙殺する計算量が求められるので、
我慢強さと集中力、処理能力がないと心が折られます。。。
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note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
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