2020年度 久留米大学付設中学過去問【算数】大問4解説

☆を1けたの整数として、次のような操作を行います。
【操作;ある整数の一の位を消してできる新たな整数から、消した一の位の☆倍を引く】
整数にこの操作をくり返して0になるとき、この整数を「☆の仲間」と呼ぶことにします。
たとえば、☆を9とします。
1001にこの操作をくり返すと、1001→91→0となるので、1001は「9の仲間」です。
一方、1002→82、2020→202→2となるので、1002も2020も「9の仲間」ではありません。
(1)
4567654→〔 ア 〕→〔 イ 〕→〔 ウ 〕→〔 エ 〕→0となるので、
4567654は「9の仲間」です。ア~エに入る整数はそれぞれ何ですか。

(2)
10けたの整数45676〔オ〕4404は「9の仲間」です。
オに入る1けたの整数は何ですか。

☆を5として、34323にこの操作をくり返すと、34323→3417→306→0となるので、
34323は「5の仲間
」です。
(3)
3けたの整数〔カ〕55、〔キ〕65はともに「5の仲間」です。
カ、キに入る1けたの整数はそれぞれ何ですか。

(4)
10けたの整数〔ク〕777777774は「5の仲間」です。
クに入る1けたの整数は何ですか。

(5)
10けたの整数〔ケ〕〔ケ〕333333〔コ〕〔コ〕は「5の仲間」です。
ケ、コに入る1けたの整数を1組求めなさい。


@解説@
(1)
ルールの適用だが、条件が特殊で桁も多く厄介Ψ(`∀´)Ψ

一の位を除外して、一の位×9を引きつづける。
0だったらその場で消しています。
ア…456729、イ…45591、ウ…4550、エ…455

(2)

先ほど、〔456729〕が9の仲間だったので、途中の末尾が29になればいい。
不明な場所を空欄にして、29の手前まで処理をおこなう。

あとは虫食い算の要領で、29+36=65→□=5
54+36=90→オ=9

(3)

同様に虫食い。
カ…2、キ…7

(4)

途中で繰り返しがある。ク=3

(5)
難しい<  `∀´ >
どこかに取っ掛かりはないものか…今まで出てきた5の仲間を観察する。
34323→3417→306→0
255→0
765→51→0
3777777774→…→774→357→0

最後が51の倍数(σ・Д・)σ
試しに他の数字も割ってみると、5の仲間はすべて51で
割り切れる。
ということは、〔ケ〕〔ケ〕333333〔コ〕〔コ〕も51の倍数になるはず。
しかし、このあとで手が詰まる(;´・ω・)
以下、力業です。。

◆ケ=1のとき
ひとまず、コ=0とおきます。
1.133.333.300÷51=22.222.221…29
余り51にするには、51-29=22を足せばいい。
@コの余りパターン@
11…余り11、22…余り22、33…余り33、44…余り44、55…余り4、
66…余り15、77…余り26、88…余り37、99…余り48
1.133.333.322÷51=22.222.222で割り切れる。
ケ=1、コ=0(1個目)

◆ケ=2のとき
面倒くさいが…1.100.000.000÷51=21.568.627…23
ケを+1する(+1.100.000.000)と、余りが+23になる
余り29+余り23-51=余り1
51の倍数にするには+余り50だがない。×

◆ケ=3のとき
余り1+余り23=余り24
51-24=27はない×
2桁の整数は99まであるが、さらに51を足しても78はない×

◆ケ=4のとき
余り24+余り23=余り47
51-47=4
コ=5のとき、余り4となる。〇
ケ=4、コ=5(2個目)

◆ケ=5のとき
余り47+余り23-51=余り19
51-19=32ない×
32+51=83×

◆ケ=6のとき
余り19+余り23=余り42
51-42=9×
9+51=60×

◆ケ=7のとき
余り42+余り23-51=余り14
51-14=37!
コ=8のとき余り37だから成立。
ケ=7、コ=8(3個目)

◆ケ=8のとき
余り14+余り23=余り37
51-37=14×
14+51=65×

◆ケ=9のとき
余り37+余り23-51=余り9
51-9=42×
42+51=93×

したがって、(ケ、コ)=(1、2)(4、5)(7、8)

 

@余談@
本問は1組見つければ正解になりますが…もっと効率良いやり方がありそ~(; ̄Д ̄)
粘ったのですがサボの限界です。無念

はじめはコに注目して、51の倍数の下二桁でありえない組み合わせを探してみました。
〔51、102、153、204、255、306、357、408、459〕
偶数は同じ数をかければゾロ目に(たとえば22だったら51×22)
11であれば51×61、33は51×83、55は51×…
05、77は51×27、99は51×49
0以外全部作れるし(´・ω・`)

あとは51=3×17なので、ケ+コが3の倍数になるくらい。
前問の3777777774から規則を見出すものかな~と思いきや何も発見できず…。

コを確定させないとケ側の処理ができないと思うんだけどなぁ。。
良い解法を編み出した方は、コメント欄かお問い合わせよりお知らせ願います( ̄人 ̄)♡
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