2022年度 洛星中学過去問【算数】大問6解説

図1のような、1辺の長さが1cmの正方形の紙①があり、左下の頂点をOとします。正方形の紙①の対角線の長さを1辺とする正方形の紙②を、図2のように正方形の紙①に重ねて置きます。

(1)
正方形の紙②の面積を求めなさい。


正方形の紙②の対角線の長さを1辺とする正方形の紙③を、同じように正方形の紙②に重ねて置きます。このようにして、正方形の紙④、⑤、・・・を重ねて置いていきます。

(2)
図3は、正方形の紙④までを重ねて置いた図です。
このとき、2枚の紙が重なっている部分の面積を求めなさい。

(3)
正方形の紙⑤までを重ねて置いたとき、紙が置かれている部分のうち、
紙が重なっていない部分の面積を求めなさい。

(4)
正方形の紙⑪までを重ねて置いたとき、最も多くの枚数の紙が重なっている部分の面積を求めなさい。ただし、下の2つの図のように、正方形の紙の縁どうしが重なっているだけの場合は、紙が重なっているとは考えません。
 


@解説@
  (1)

2つが1cm2なので、4つは2cm2

(2)

実際に描いてみると、2枚重なっている部分は2倍ずつ増えている
0.5+1+2=3.5cm2

(3)

最初に0.5が2ヶ所ある。
最後は4ではなく、8が追加される点に注意
0.5+0.5+1+2+4+8=16cm2

(4)

正方形の対角線に注目してみる。
45度ずつ反時計回りに重ねていく。
⑧の対角線が右側に伸び、⑪は③と重なる。
そして、対角線の両サイドの部分に新しい正方形が足されていく

(2)で1周目に2枚重なっている部分に目をつける。
⑪の右側までで4枚重なる部分はうえの通り。
よって、1.5cm2

@余談@

⑬までやると、こうなります。
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