2022年度　洛星中学過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
図１のような、１辺の長さが１ｃｍの正方形の紙①があり、左下の頂点をＯとします。正方形の紙①の対角線の長さを１辺とする正方形の紙②を、図２のように正方形の紙①に重ねて置きます。

（１）
正方形の紙②の面積を求めなさい。

正方形の紙②の対角線の長さを１辺とする正方形の紙③を、同じように正方形の紙②に重ねて置きます。このようにして、正方形の紙④、⑤、･･･を重ねて置いていきます。

（２）
図３は、正方形の紙④までを重ねて置いた図です。
このとき、２枚の紙が重なっている部分の面積を求めなさい。

（３）
正方形の紙⑤までを重ねて置いたとき、紙が置かれている部分のうち、
紙が重なっていない部分の面積を求めなさい。

（４）
正方形の紙⑪までを重ねて置いたとき、最も多くの枚数の紙が重なっている部分の面積を求めなさい。ただし、下の２つの図のように、正方形の紙の縁どうしが重なっているだけの場合は、紙が重なっているとは考えません。

＠解説＠
（１）

●２つが１ｃｍ²なので、●４つは２ｃｍ²

（２）

実際に描いてみると、２枚重なっている部分は２倍ずつ増えている。
0.5＋１＋２＝3.5ｃｍ²

（３）

最初に0.5が２ヶ所ある。
最後は４ではなく、８が追加される点に注意！
0.5＋0.5＋１＋２＋４＋８＝16ｃｍ²

（４）

正方形の対角線に注目してみる。
45度ずつ反時計回りに重ねていく。
⑧の対角線が右側に伸び、⑪は③と重なる。
そして、対角線の両サイドの部分に新しい正方形が足されていく。

（２）で１周目に２枚重なっている部分に目をつける。
⑪の右側までで４枚重なる部分はうえの通り。
よって、1.5ｃｍ²

＠余談＠

⑬までやると、こうなります。
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