2018年度 早稲田実業学校中等部入試問題【算数】大問2解説

一辺の長さが9cmで、表が白色、裏が黒色の正方形の折り紙ABCDがあります。
点Pを折り紙の上にとり、頂点Aが点Pに重なるように折って、
図1のように黒い図形を作ります。
次の各問いに答えなさい。

(1)
図2のように点Pを正方形の対角線AC上にとり、黒い図形を作ったところ、
黒い図形の面積と表の面積の比が1:2になりました。APの長さを求めなさい。

(2)
図3のように点PをDP=3cmとなるように辺CD上にとり、
黒い図形を作ったところ、DQ=4cmとなりました。黒い図形の面積を求めなさい。

(3)
頂点Aから点Pを出発させ、黒い図形が三角形になるに点Pを動かします。
点Pの動ける範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。


@解説@
(1)

Pは対角線上の点⇒四角形AEPFは正方形。
正方形全体④=81cm2
正方形AEPF②=81÷2=81/2cm2
APは正方形AEPFの対角線。AP=□とおくと、
□×□÷2=81/2
□=9→AP=9cm

(2)
問題集でも見かける形ゆえ、正解したい。

黒い図形は台形なので、上底と下底の長さが知りたい。

×=90°として直角三角形の角度を調査
→2角が等しく、3つの相似図形がでてくる。
直角三角形QDPに注目すると、辺の比が3:4:5!

PG=6×5/4=15/2cm
GF=PF-PG=9-15/2=3/2cm
EF=3/2×4/3=2cm
よって、(2+5)×9÷2=63/2cm2

(3)

辺AB上にできる折り目の一端に注目。
折り目の端がBを超えると、黒い図形が三角形から四角形に変わる
同様のことは辺ADにも言える。(折り目の端がDを超えるとNG!)

折り目の一端が辺ABか辺ADから離れないような点Pの範囲を作図する。
AB・ADを半径とする4分の1円を描き、
これらの弧より外側だと折り目の一端がいずれかの辺から離れ、黒い図形が四角形になるので、
その内部のラグビーボールが正解。
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