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一辺の長さが9cmで、表が白色、裏が黒色の正方形の折り紙ABCDがあります。
点Pを折り紙の上にとり、頂点Aが点Pに重なるように折って、図1のように黒い図形を作ります。
次の各問いに答えなさい。
(1)
図2のように点Pを正方形の対角線AC上にとり、黒い図形を作ったところ、
黒い図形の面積と表の面積の比が1:2になりました。APの長さを求めなさい。
(2)
図3のように点PをDP=3cmとなるように辺CD上にとり、
黒い図形を作ったところ、DQ=4cmとなりました。黒い図形の面積を求めなさい。
(3)
頂点Aから点Pを出発させ、黒い図形が三角形になるに点Pを動かします。
点Pの動ける範囲を解答欄の図に斜線で示しなさい。
@解説@
(1)

Pは対角線上の点⇒四角形AEPFは正方形。
正方形全体④=81cm2
正方形AEPF②=81÷2=81/2cm2
APは正方形AEPFの対角線。AP=□とおくと、
□×□÷2=81/2
□=9→AP=9cm
(2)
黒い図形は台形なので、上底と下底の長さが知りたい。
○+×=90°として直角三角形の角度を調査。
→2角が等しく、3つの相似図形がでてくる。
直角三角形QDPに注目すると辺の比は3:4:5。
PG=6×5/4=15/2cm
GF=PF-PG=9-15/2=3/2cm
EF=3/2×4/3=2cm
よって、(2+5)×9÷2=63/2cm2
(3)
辺AB上にできる折り目の一端に注目。
折り目の端がBを超えると、黒い図形が三角形から四角形に変わる。
同様のことは辺ADにも言える。(折り目の端がDを超えるとNG!)
折り目の一端が辺ABか辺ADから離れないような点Pの範囲を作図する。
AB・ADを半径とする4分の1円を描き、
これらの弧より外側だと折り目の一端がいずれかの辺から離れて黒い図形が四角形になるので、
その内部のラグビーボールが正解。
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