2021年度　渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問３解説

問題ＰＤＦ
図１のように、ＡＢ＝20ｃｍ、ＡＤ＝24ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあります。点Ｐは、Ａを出発して、Ａ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａの順に長方形の辺上を一定の速さで動き、Ａにとう着したら停止します。点Ｑは、点Ｐと同時にＡを出発して、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａの順に長方形の辺上を一定の速さで動き、Ａにとう着したら停止します。ただし、ＰのほうがＱより速く動きます。

このとき、３点Ｂ、Ｃ、Ｑを頂点とする三角形の面積と、３点Ｃ、Ｄ、Ｐを頂点とする三角形の面積の和をＳｃｍ²とします。ただし、３つの点が三角形をつくらない場合は、面積は０ｃｍ²とします。２点Ｐ、Ｑが動き始めてから停止するまでの時間とＳの関係は、図２のようになりました。

このとき、次の各問いに答えなさい。

（１）
点ＰがＤにとう着するまでにかかる時間は、
点ＱがＢにとう着するまでにかかる時間より何秒早いまたは遅いですか。

（２）
図２の（　あ　）、（　い　）にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

（３）
点Ｐが辺ＢＣ上にあるときを考えます。３点Ａ、Ｂ、Ｐを頂点とする三角形の面積と、３点Ａ、Ｂ、Ｑを頂点とする三角形の面積の差が100ｃｍ²になるのは、２点Ｐ、Ｑが動き始めてから何秒後ですか。考えられるものをすべて答えなさい。

先にＱがＢに着くかもしれない、いやらしさ(-_-;)

まずは変化の確認。
△ＣＤＰも△ＢＣＱも面積は辺ごとに減少→０→増加→面積最大となる。

↑すると、グラフのこんなところが初めにわかる。
なぜなら、Ｓが０のときにＰはＣＤ上、ＱはＢＣ上をＣに向かって進んでおり、
Ａから出発した半周先のＣはＰルートでもＱルートでも同じ距離にあるため、
先にＣを通過するのはＱより速いＰだから。

Ｓの増加後にＳが一定になるのは、ＰがＢに到着して△ＣＤＰが最大化して等積変形中だから。
その後、ＱがＣに到着、△ＢＣＱが増加して12.8秒後に最初のＳと同じ値になる。
→12.8秒後にＱがＤに到着して、△ＢＣＱも最大化。

Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄの64ｃｍをＱは12.8秒で移動する。
Ｑの速さは、64÷12.8＝秒速５ｃｍ

求めたいのは最初の折れるポイントがＰかＱかだが、
ＰのＢ到着後にようやくＱがＣに着くから、なんとなくＰの予感がする。

一応、検証しておくと、先にＱがＢに到着した場合、
ＰＤ＝60×２÷20＝６ｃｍで、Ｐが進む長さは24－６＝18ｃｍ
Ｑは20ｃｍも進んだのに、速いＰは18ｃｍしか進んでいないので×！

ＱＢ＝60×２÷24＝５ｃｍ
Ｑの進んだ距離が15ｃｍ、Ｐの進んだ距離が24ｃｍ。
速さの比はＰ：Ｑ＝15：24＝５：８だから、Ｐの速さは秒速８ｃｍ。
Ｐは３秒後にＤに着く。Ｑは４秒後にＢに着く。
したがって、ＰがＤに到着する時間はＱがＢに到着する時間より１秒早い。

（２）

すでに必要な情報は得ている。
ＰがＢに着いたとき、△ＣＤＰは面積最大化、△ＢＣＱは面積０のとき。
ということは、Ｓは長方形ＡＢＣＤ半分で、24×20÷２＝240ｃｍ²
ＰがＢに着くのは、（24＋20＋24）÷８＝8.5秒後
あ…240、い…8.5

（３）
△ＡＢＰと△ＡＢＱに変わっている点に注意！

ＰがＣに着くのは、44÷８＝5.5秒後
Ｑは5.5×５＝27.5ｃｍ移動しており、Ｂの右7.5ｃｍの場所にいる。
両者の差は、24－7.5＝16.5ｃｍ

この状態からＰとＱが近づいていく。
△ＡＢＰと△ＡＢＱの面積の差が100ｃｍ²になるには、
底辺の長さが100×２÷20＝10ｃｍであればいい。
つまり、ＰとＱが合計で、16.5－10＝6.5ｃｍ進む。
１秒あたり13ｃｍずつ近づくから、6.5÷13＝0.5秒後
よって、5.5＋0.5＝６秒後

６秒後のＱは、Ｂの右10ｃｍの場所にいる。
もう１つはＰとＱが出会い、さらに10ｃｍの差が生まれたとき。
→ＰとＱで合計20ｃｍ移動する。
（初期状態でＢＱ＝10ｃｍだから、ＰがＢに着く前となる）
20÷13＝20/13秒後
よって、６＋20/13＝98/13秒後
６秒後、98/13秒後
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