2021年度 渋谷教育学園幕張中学過去問【算数】大問3解説

図1のように、AB=20cm、AD=24cmの長方形ABCDがあります。点Pは、Aを出発して、A→D→C→B→Aの順に長方形の辺上を一定の速さで動き、Aにとう着したら停止します。点Qは、点Pと同時にAを出発して、A→B→C→D→Aの順に長方形の辺上を一定の速さで動き、Aにとう着したら停止します。ただし、PのほうがQより速く動きます。

このとき、3点B、C、Qを頂点とする三角形の面積と、3点C、D、Pを頂点とする三角形の面積の和をScm2とします。ただし、3つの点が三角形をつくらない場合は、面積は0cm2とします。2点P、Qが動き始めてから停止するまでの時間とSの関係は、図2のようになりました。

このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)
点PがDにとう着するまでにかかる時間は、
点QがBにとう着するまでにかかる時間より何秒早いまたは遅いですか。

(2)
図2の( あ )、( い )にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

(3)
点Pが辺BC上にあるときを考えます。3点A、B、Pを頂点とする三角形の面積と、3点A、B、Qを頂点とする三角形の面積の差が100cm2になるのは、2点P、Qが動き始めてから何秒後ですか。考えられるものをすべて答えなさい。


@解説@
最初が肝心です:( ´ω` ):
(1)
Pが速いとのことだが、最初の頂点までPは24cm、Qは20cmあるので、
PがDに着くより
先にQがBに着くかもしれない、いやらしさ(-_-;)

まずは、変化の確認。
△CDPも△BCQも面積は辺ごとに減少→0→増加→面積最大となる。

↑すると、グラフのこんなところがはじめにわかる。
なぜなら、Sが0のときにPはCD上、QはBC上をCに向かって進んでおり、
Aから出発した半周先のCはPルートでもQルートでも同じ距離にあるため、
先にCを通過するのはQより速いPだから。

Sの増加後にSが一定になるのは、PがBに到着して△CDPが最大化して等積変形中だから。
その後、QがCに到着、△BCQが増加して12.8秒後に最初のSと同じ値になる。
12.8秒後にQがDに到着して、△BCQも最大化。

A→B→C→Dの64cmをQは12.8秒で移動する。
Qの速さは、64÷12.8=秒速5cm

求めたいのは最初の折れるポイントがPなのかQなのかだが、
PのB到着後にようやくQがCに着くから、なんとなくPの予感がする。

一応、検証しておくと、先にQがBに到着した場合、
PD=60×2÷20=6cmで、Pが進む長さは24-6=18cm。
Qは20cmも進んだのに、速いPは18cmしか進んでいないので×!

QB=60×2÷24=5cm
Qの進んだ距離が15cm、Pの進んだ距離が24cm。
速さの比はP:Q=15:24=5:8だから、
Pの速さは秒速8cm。
Pは3秒後にDに着く。Qは4秒後にBに着く。
したがって、PがDに到着する時間はQがBに到着する時間より1秒早い。

(2)

すでに必要な情報を得ている((´∀`))
PがBに着いたとき、△CDPは面積最大化、△BCQは面積0のとき。
ということは、Sは長方形ABCD半分で、24×20÷2=240cm2
PがBに着くのは、(24+20+24
)÷8=8.5秒後
あ…240、い…8.5

(3)
△ABPと△ABQに変わっている点に注意!

PがCに着くのは、44÷8=5.5秒後
Qは5.5×5=27.5cm移動しており、Bの右7.5cmの場所にいる。
両者の差は、24-7.5=16.5cm

この状態からPとQが近づいていく。
△ABPと△ABQの面積の差が100cm2になるには、
底辺の長さが100×2÷20=10cmであればいい
つまり、PとQが合計で、
16.5-10=6.5cm進む
1秒あたり13cmずつ近づくから、6.5÷13=0.5秒後
よって、5.5+0.5=6秒後

6秒後のQは、Bの右10cmの場所にいる。
もう1つはPとQが出会って、さらに10cmの差が生まれたとき。
PとQで合計20cm移動する
(初期状態でBQ=10cmだから、PがBに着く前となる)
20÷13=20/13秒後
よって、6+20/13=98/13秒後

6秒後、98/13秒後
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