2019年度 学習院女子中等科入試問題【算数】大問6解説

下の図のように3色のブロックを使って階段を作ります。
はじめに青のブロック3個で2段の階段を作り、その外側に白のブロックを積んで4段の階段を、
さらにその外側に赤のブロックを積んで6段の階段を作り、その後も外側に、青、白、赤、青・・・
の順にブロックを積むことで、8段、10段、12段、14段・・と段数を増やしていきます。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
20段の階段を作るのに必要な青・白・赤のブロックの数をそれぞれ求めなさい。

(2)
8段の階段の1番外側は青のブロック15個で作られています。
1番外側のブロックの数が2019個になる階段の段数を求めなさい。
また、そのときの1番外側のブロックの色を答えなさい。

(3)
8段の階段は、下から4段目に青のブロックが2個、白のブロックが1個、
赤のブロックが2個あります。
700段の階段の下から500段目にある白のブロックの個数を求めなさい。


@解説@
(1)
20段までは10回しかないので、各ブロックの数を調べ上げる。
1115192327313539
(4ずつ増える)
青…3+15+27+39=84個
白…7+19+31=57個
赤…11+23+35=69個

(2)
3から始まり、4ずつ増えていく階差数列で2019は何番目か。
(2019-3)÷4+1=505番目
段数は2・4・6…と偶数で増えていくことに注意
505番目は、505×2=1010段目

外側の色に注目すると、2段青、4段白、6段赤と、青・白・赤…の繰り返しなので、
1010段目の外側の色は、505÷3=168…1→青色となる。

@別解@

外側に注目すると、テッペンの1つを除くと(段数-1)個が左右にあらわれる。
(2019-1)÷2+1=1010段目

(3)

8段の奇数段目に着目すると、真ん中のブロックは下から青→白→赤…の順で繰り返されている。
下から500
段のうち奇数段目は、500÷2=250段ある。
250÷3=83…1→余りが1なので、下から500段目の真ん中は青
横に並ぶブロックの数は段数に等しいので、
201段目では青を中心に右に100、左に100、計201個のブロックが並ぶ。

左右のブロックは、白・赤・青…の繰り返し。
100÷3=33…1→余り1なので白は左右に34個ずつ。
よって、201段目の白の数は、34×2=68個

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