2020年度 市川中学過去問【算数】大問2解説

◎、▲を1以上の整数として、◎を▲回かけた数を〔◎、▲〕、
◎を▲で割ったときの余りを(◎、▲)で表します。例えば、
〔2、3〕=8、(13、5)=3
です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1)次の□にあてはまる数をすべて求めなさい。
(〔3、4〕、□)=5

2)次の計算をしなさい。
(〔5、2〕、8)+(〔5、3〕、8)+(〔5、4〕、8)+‥‥(〔5、2020〕、8)

(3)次の計算をしなさい。
(〔5、〔5、〔5、〔5、2020〕〕〕〕、8)


@解説@
(1)
〔3、4〕=3×3×3×3=81
(81、□)=5
わかりづらかったら、計算式に変換してみよう。
81÷□=△…5
81を□で割ったら、余りが5となる□を求める。

81-5=76
76で割れば余りが5。
76の約数→1・2・4・19・38・76
もっとも、余り5となるには割る数は6以上でなくてはならない
よって、19・38・76。

(2)
最初の方を試してみる。
5×5÷8→余り1、5×5×5÷8→余り5、
5×5×5×5÷8→余り1、5×5×5×5×5÷8→余り5・・・
余りが1⇒5⇒1⇒5…と繰り返される!

どうしてこうなるかというと、25=24(=8×3)+1の固まりで図式化すると、
最初は余り1で、次が余り1×5=余り5、次が余り5×5=余り25=余り1が繰り返されるから。
2つのペアで考えていくと、
(〔5、〕、8)+(〔5、〕、8)=1+5=6
(〔5、〕、8)+(〔5、5〕、)=6
2~2018までのペアの数は、2018÷2=1009
各々が6なので、和は1009×6=6054
最後の(〔5、2020〕、8)=1を足して、答えは6055。

(3)
〔5、2020〕→5を2020回かけた積。
こちらも計算は無理なので、規則性を探る。
前問で、〔5、〕〔5、〕と偶数回であれば、8で割ると余りは1、
〔5、〕〔5、〕と奇数回であれば、8で割ると余りは5であった。

(2)の形式にあてはめれば、□が偶数回だと余り1、奇数回だと余り5。
2択のどっちだ?< `∀´ >

5は何回かけても一の位が5なので、積は必ず奇数
ということは、〔 〕を外すとすべて奇数回になる。
よって、答えは5。

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