2020年度　市川中学過去問【算数】大問２解説

問題ＰＤＦ
◎、▲を１以上の整数として、◎を▲回かけた数を〔◎、▲〕、
◎を▲で割ったときの余りを（◎、▲）で表します。例えば、
〔２、３〕＝８、（13、５）＝３
です。このとき、次の問いに答えなさい。

（１）次の□にあてはまる数をすべて求めなさい。
（〔３、４〕、□）＝５

（２）次の計算をしなさい。
（〔５、２〕、８）＋（〔５、３〕、８）＋（〔５、４〕、８）＋‥‥（〔５、2020〕、８）

（３）次の計算をしなさい。
（〔５、〔５、〔５、〔５、2020〕〕〕〕、８）

81－５＝76
76で割れば余りが５。
76の約数→１・２・４・19・38・76
もっとも、余り５となるには割る数は６以上でなくてはならない。
よって、19・38・76

（２）
最初の方を試してみる。
５×５÷８→余り１、５×５×５÷８→余り５、
５×５×５×５÷８→余り１、５×５×５×５×５÷８→余り５･･･
余りが１⇒５⇒１⇒５…と繰り返される。

どうしてこうなるかというと、25＝24（＝８×３）＋１の固まりで図式化すると、
最初は余り１で、次が余り１×５＝余り５、次が余り５×５＝余り25＝余り１が繰り返されるから。
２つのペアで考えていくと、
（〔５、２〕、８）＋（〔５、３〕、８）＝１＋５＝６
（〔５、４〕、８）＋（〔５、５〕、８）＝６
２～2018までのペアの数は、2018÷２＝1009
各々が６なので、和は1009×６＝6054
最後の（〔５、2020〕、８）＝１を足して、答えは6055

（３）
〔５、2020〕→５を2020回かけた積。
こちらも計算は無理なので規則性を探る。
前問で、〔５、２〕〔５、４〕と偶数回であれば、８で割ると余りは１、
〔５、３〕〔５、５〕と奇数回であれば、８で割ると余りは５であった。

（２）の形式にあてはめれば、□が偶数回だと余り１、奇数回だと余り５。

５は何回かけても一の位が５なので、積は必ず奇数。
ということは、〔　〕を外すとすべて奇数回になる。
よって、答えは５
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