2020年度 福岡大学附属大濠中学過去問【算数】大問4解説

2から100までの数字が書かれたカードをそれぞれ10枚ずつ、合計990枚あります。
このカードを使って、次の<ルール1>で数を作ります。

<ルール1>
カードを何枚か選び、そのカードに書かれた数字をすべてかけて数を作る。

例えば、【3】のカード1枚と【5】のカード1枚を選んだとき、できる数は15になり、
【2】のカード1枚だけを選んだとき、できる数は2になります。

(1)
数12の作り方は全部で〔   〕通りあり、数49の作り方は全部で〔   〕通りあります。

 

次に、<ルール1>に<ルール2>も合わせて数を作ります。

<ルール2>
<ルール1>で数を作るとき、カードをできるだけ多く選んで作る。

例えば、数18を作るとき、
1枚のカードで作ると、【18】のカード1枚です。
2枚のカードで作ると、【2】のカード1枚と【9】のカード1枚または、
【3】のカード1枚と【6】のカード1枚です。
3枚のカードで作ると、【2】のカード1枚と【3】のカード2枚です。
しかし、4枚以上のカードでは、数18を作ることはできません。
したがって、数18を作るときは、
「【2】のカード1枚と【3】のカード2枚の合計3枚のカードを選んで作ります」です。
今、<ルール2>で、2から100までの数を作ることを考えます。

(2)
数30を作るとき、〔   〕枚のカードを選んで作ります。

(3)
カードを4枚使って作ることができる数は全部で〔   〕個あります。

(4)
使うカードが最も多い枚数でできる数をすべて求めると〔   〕です。
このとき、使うカードの枚数は〔   〕枚です。

 

最後に、<ルール2>で作った2から100までの数を<ルール3>で作りかえます。

<ルール3>
<ルール2>で2から100までの数を作った後、選んだカードに同じカードがあれば、2枚ごとにそのカードを捨てる。こうして手元に残ったカードに書かれた数字をすべてかけて、あらためて数を作り直す。ただし、すべてのカードを捨てて、手元にカードがなくなったときは、かけてできる数は0とする。

例えば、<ルール2>で数18は、【2】のカード1枚と【3】のカード2枚の合計3枚のカードで作っているので、【3】のカードを2枚捨てると、手元に残ったのは【2】のカード1枚だけです。よって、作り直してできる数は2です。
また、<ウール2>で数9は、【3】のカード2枚だけで作っているので、
手元のカードはすべてなくなります。よって、作り直してできる数は0です。

(5)
<ルール3>で、2から100までの数をすべて作り直しました。
このときできる数は、全部で〔   〕種類です。


@解説@
(1)
【12】、【2】×【6】、【3】×【4】、【2】×【2】×【3】
4通り。

【49】、【7】×【7】
2通り。

(2)
カードの枚数を多くして30を作る。
30を素数だけの積で表す→素因数分解!
【2】×【3】×【5】
3枚

(3)
最小の数である【2】の枚数で場合分けするのが良いかな?
2×2×2×2=16、3×3×3×3=81
【3】が4枚で81だから、そんなにないはず。

ポイントは素数のカードを選択すること。
前問と同様で素数に分解できる合成数は、もっとカードを増やせるのでNG。×
◆【2】が4枚
〔2・2・2・2〕

◆【2】が3枚
〔2・2・2・3〕
〔2・2・2・5〕
〔2・2・2・7〕
〔2・2・2・11〕
積が100を超さないように!
8×□≦100

◆【2】が2枚
〔2・2・3・3〕
〔2・2・3・5〕
〔2・2・3・7

〔2・2・5・5〕
小さい素数から入れ替えて慎重に調べる。

◆【2】が1枚
〔2・3・3・3〕
〔2・3・3・5〕

◆【2】が0枚
〔3・3・3・3〕
以上、12個。

(4)
最も小さい素数【2】のベキ乗を想像する。
2×2×2×2×2×2=64
2の7乗=128で100over。×
また、最後の2を3に変えて、
2×2×2×2×2×3=96
64と96
カードの枚数は6枚。

(5)
同じカードを2枚ずつペアで取っていく。
→同じ素数が2つある数はなくなって作り直される。
作り直された数は、なくなった素数2個を除いた素数の積だから既出
たとえば、問題文の例題で挙げられる18ならば、2×3×3→2で2は既出。
同じ素数が2つある数を見つけ、全体から引けばいい

【2】×【2】→4の倍数
【3】×【3】→9の倍数
【5】×【5】→25の倍数
【7】×【7】→49の倍数
【11】×【11】…100overゆえ×!
49の倍数は49と98の2個しかなく、4の倍数でも9の倍数でも25の倍数でもない。
また、25の倍数は25・50・75・100。
このうち100は4の倍数と重複するから、3個でカウントしておく。

残りは、1~100までの4の倍数と9の倍数の個数を求める。

ベン図処理。
25+11-2=34個

1~100で4の倍数・9の倍数・25の倍数・49の倍数は、2+3+34=39個
100-39=61個

留意点は、手元のカードがすべてなくなると0ができること。
さらに、【1】のカードはないので1は作ることができない
61+1-1=61個
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
国私立高校入試…数学科のみ。ハイレベルな問題をそろえてみました。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様。


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA