2019年度　高槻中学過去問Ａ日程【算数】大問５解説

問題ＰＤＦ
１から31までの整数から、同じ数字を２つ以上選ばずに６つの数字を選びます。
その６つの数字を２つずつ３組に分けます。
【ア】の分け方：３組とも、２つの数字の和が５の倍数となる。
【イ】の分け方：３組とも、２つの数字の差が５の倍数となる。
【ア】の分け方と【イ】の分け方の両方ができる６つの数字を選ぶことを「良い選び方」とよぶことにします。

例えば、６つの数が、１、４、５、６、10、19のときは
１＋４＝５、５＋10＝15、６＋19＝25
より、【ア】の分け方ができ、さらに
６－１＝５、19－４＝15、10－５＝５
より、【イ】の分け方ができるので、これは「良い選び方」といえます。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
選ばれた６つの数のうち５つが、１、4、９、16、25のとき、
「良い選び方」となるようなもう１つの数をすべて答えなさい。

（２）
選ばれた６つの数のうち３つが、１、19、31のとき、
「良い選び方」となるような残り３つの数の組は何組ありますか。
ただし、選ぶ数字の順番は考えません。

（３）
「良い選び方」となるような６つの数の組は全部で何組ありますか。
ただし、選ぶ数字の順番は考えません。
*実際の試験では、（２）と（３）は答案で説明が要求される。

〔１、４、９、16、25〕において、
５で割ったときの余りは〔１、４、４、１、０〕
０が１つしかない⇒〔０〕すなわち、５の倍数をもう１個選ぶ。
１～31のなかで25以外の５の倍数は５、10、15、20、30。

（２）
前問がクリアできれば本問も解きやすい。
〔１、９、31〕は５で割ると余りは〔１、４、１〕
〔４〕が１つ足りない。
また、残りの２つの数は〔２、２〕〔３、３〕は４つセットでなければならないので、
〔０、０〕の組み合わせしかない。

〔４〕
４、14、19、24、29から１つ→５通り
〔０、０〕
５、10、15、20、25、30から２つ→₆Ｃ₂＝15通り
５×15＝75組

（３）
５で割った余りの組み合わせを考える。
①〔０、０、０、０、０、０〕⇒すべてが５の倍数
②〔１、１、４、４、０、０〕⇒前問と同様、余り１と４が２つずつ＋５の倍数２つ
③〔２、２、３、３、０、０〕⇒余り２と３が２つずつ＋５の倍数２つ
これしかない。

①５、10、15、20、25、30の１通り。
②余り〔１〕だけ７つあることに注意！
₇Ｃ₂×₆Ｃ₂×₆Ｃ₂＝21×15×15＝4725通り
③₆Ｃ₂×₆Ｃ₂×₆Ｃ₂＝15×15×15＝3375通り
したがって、１＋4725＋3375＝8101組
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