2019年度 高槻中学過去問A日程【算数】大問5解説

1から31までの整数から、同じ数字を2つ以上選ばずに6つの数字を選びます。
その6つの数字を2つずつ3組に分けます。
【ア】の分け方:3組とも、2つの数字の和が5の倍数となる。
【イ】の分け方:3組とも、2つの数字の差が5の倍数となる。
【ア】の分け方と【イ】の分け方の両方ができる6つの数字を選ぶことを
「良い選び方」とよぶことにします。

例えば、6つの数が、1、4、5、6、10、19のときは
1+4=5、5+10=15、6+19=25
より、【ア】の分け方ができ、さらに
6-1=5、19-4=15、10-5=5
より、【イ】の分け方ができるので、これは「良い選び方」といえます。
このとき、次の問いに答えなさい。

(1)
選ばれた6つの数のうち5つが、1、4、9、16、25のとき、
「良い選び方」となるようなもう1つの数をすべて答えなさい。

(2)
選ばれた6つの数のうち3つが、1、19、31のとき、
「良い選び方」となるような残り3つの数の組は何組ありますか。
ただし、選ぶ数字の順番は考えません。

(3)
「良い選び方」となるような6つの数の組は全部で何組ありますか。
ただし、選ぶ数字の順番は考えません。
*実際の試験では、(2)と(3)は答案で説明が要求される。


@解説@
(1)
計算の結果を5の倍数にする
例題の〔1、4、5、6、10、19〕の並びをみると、
5の倍数から、〔+1、+4、+0、+1、+0、+4〕
〔+4+1〕⇒5の倍数
〔+1-(+1)〕⇒5の倍数
5で割ったときの余りに気付ければGOOD。

本問の〔1、4、9、16、25〕では、
5の倍数で割ると余りが〔1、4、4、1、0〕。
0が1つしかない⇒〔0〕すなわち、5の倍数をもう1個選ぶ。
1~31のなかで25以外の5の倍数は、5、10、15、20、30。

(2)
前問をクリアできれば、本問も解きやすい。
〔1、9、31〕は5で割ると〔1、4、1〕
〔4〕が1つ足りない。
また、残りの2つの数は〔2、2〕〔3、3〕は4つセットでなければならないので、
〔0、0〕の組み合わせしかない。

〔4〕
4、14、19、24、29から1つ→5通り
〔0、0〕
5、10、15、20、25、30から2つ→62=15通り

5×15=75組

(3)
まずは、5で割ったときの組み合わせを考える。
①〔0、0、0、0、0、0
〕⇒すべてが5の倍数
②〔1、1、4、4、0、0〕⇒前問と同様、余り1と4が2つずつ+5の倍数2つ
③〔2、2、3、3、0、0〕⇒余り2と3が2つずつ+5の倍数2つ
これしかない。

①5、10、15、20、25、30の1通り。
②余り〔1〕だけ7つあることに注意!
 72×62×62=21×15×15=4725通り
62×62×62=15×15×15=3375通り
よって、1+4725+3375=8101組

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