2022年度 甲陽学院中学2日目過去問【算数】大問3解説

下の図のような直方体ABCD―EFGHがあり、AB=AD=6cm、BF=8cmです。
正方形ABCDの2本の対角線AC、BDの交点をPとします。
4点A、F、G、Dを通る平面と四角すいP―EFGHの辺PE、PHとの交点を
それぞれQ、Rとします。

(1)
長さの比PR:RHを最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)
四角形QFGRの面積は四角形AFGDの面積の何倍ですか。

(3)
四角すいP―EFGHを4点A、F、G、Dを通る平面で2つに切り分けるとき、
点Eをふくむ方の立体の体積を求めなさい。
ただし、角すいの体積は(底面積)×(高さ)÷3で求められます。


@解説@
(1)
  
台形QFGRは長方形AFGD上にある。
右から眺めると、RGとDGがかぶる
正方形CGHDに転写すると右図のようになる。
△PDRと△HGRは相似で、相似比はPR:RH=1:2

(2)

台形QFGRと長方形AFGDを一緒に観察できる方向⇒正方形ABCDに転写する。
(前方の正方形BFGCでも良い。上方向だと対角線AC、BDがあるので様子がわかりやすい)
QはAC上、RはBD上にくる。

前問の1:2を活用。
△PQRを①とする。QP:PC=1:3より、△PRC=③
RP:PB=1:3より、△PBC=⑨
同様に、
△BQP=③
台形QBCR(立体ではQFGR)の面積は⑯。
正方形ABCD(立体ではAFGD)は△PBCの4倍で㊱。
台形QFGRは長方形AFGDの16/36=4/9倍

(3)

FG、EH、QRの中点をそれぞれS、T、Uとして、
四角錐PーEFGHを△PSTで2等分する。
△PSTを底面として左右の最大幅を高さとみなす
底面積の比は、青の立体赤の立体=△PUS:△UTS=PU:UT=①:②

高さは断頭三角柱の高さの平均を用いる。
P…0cm、FG…6cm、QR…△PQRと△PEHの相似で、QR=6×1/3=2cm
青の立体の高さは、(0+2+6)÷3=8/3cm
赤の立体の高さは、(2+6+6)÷3=14/3cm
高さの比は、=8/3:14/3=【4】:【7】
体積比は底面積の比×高さの比で、=①×【4】:②×【7】=2:7

四角錐PーEFGHの体積から体積比を用いて、
求積すべきの立体の体積は、6×6×8÷3×7/9=
224/3cm3

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2021年度 宮崎県公立高校入試過去問【数学】解説

宮崎の大問6で類題が出ています。
最後の(3)です。正答率は0.4
%、中学生も苦戦してます。
(2)は根号がでてしまいますが、45°がどこにあたるかを図示できれば、
(3)は誘導無視で解くことができます。
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