問題ＰＤＦ
下の図のような直方体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨがあり、ＡＢ＝ＡＤ＝６ｃｍ、ＢＦ＝８ｃｍです。
正方形ＡＢＣＤの２本の対角線ＡＣ、ＢＤの交点をＰとします。
４点Ａ、Ｆ、Ｇ、Ｄを通る平面と四角すいＰ―ＥＦＧＨの辺ＰＥ、ＰＨとの交点を
それぞれＱ、Ｒとします。
（１）
長さの比ＰＲ：ＲＨを最も簡単な整数の比で表しなさい。
（２）
四角形ＱＦＧＲの面積は四角形ＡＦＧＤの面積の何倍ですか。
（３）
四角すいＰ―ＥＦＧＨを４点Ａ、Ｆ、Ｇ、Ｄを通る平面で２つに切り分けるとき、
点Ｅをふくむ方の立体の体積を求めなさい。
ただし、角すいの体積は（底面積）×（高さ）÷３で求められます。
＠解説＠
（１）
台形ＱＦＧＲは長方形ＡＦＧＤ上にある。
右から眺めると、ＲＧとＤＧがかぶる。
正方形ＣＧＨＤに転写すると右図のようになる。
△ＰＤＲと△ＨＧＲは相似で、相似比はＰＲ：ＲＨ＝１：２
（２）
台形ＱＦＧＲと長方形ＡＦＧＤを一緒に観察できる方向⇒正方形ＡＢＣＤに転写する。
（前方の正方形ＢＦＧＣでも良い。上方向だと対角線ＡＣ、ＢＤがあるので様子がわかりやすい）
ＱはＡＣ上、ＲはＢＤ上にくる。
前問の１：２を活用。
△ＰＱＲを①とする。ＱＰ：ＰＣ＝１：３より、△ＰＲＣ＝③
ＲＰ：ＰＢ＝１：３より、△ＰＢＣ＝⑨
同様に、△ＢＱＰ＝③
台形ＱＢＣＲ（立体ではＱＦＧＲ）の面積は⑯。
正方形ＡＢＣＤ（立体ではＡＦＧＤ）は△ＰＢＣの４倍で㊱。
台形ＱＦＧＲは長方形ＡＦＧＤの16/36＝４/９倍
（３）
ＦＧ、ＥＨ、ＱＲの中点をそれぞれＳ、Ｔ、Ｕとして、
四角錐ＰーＥＦＧＨを△ＰＳＴで２等分する。
△ＰＳＴを底面として左右の最大幅を高さとみなす。
底面積の比は、青の立体：赤の立体＝△ＰＵＳ：△ＵＴＳ＝ＰＵ：ＵＴ＝①：②
高さは断頭三角柱の高さの平均を用いる。
Ｐ…０ｃｍ、ＦＧ…６ｃｍ、ＱＲ…△ＰＱＲと△ＰＥＨの相似で、ＱＲ＝６×１/３＝２ｃｍ
青の立体の高さは、（０＋２＋６）÷３＝８/３ｃｍ
赤の立体の高さは、（２＋６＋６）÷３＝14/３ｃｍ
高さの比は、青：赤＝８/３：14/３＝【４】：【７】
体積比は底面積の比×高さの比で、青：赤＝①×【４】：②×【７】＝２：７
四角錐ＰーＥＦＧＨの体積から体積比を用いて、
求積すべき赤の立体の体積は、６×６×８÷３×７/９＝224/３ｃｍ3
＠＠＠
宮崎の大問６で類題が出ています。
最後の（３）です。正答率は0.4％、中学生も苦戦してます。
（２）は根号がでてしまいますが、45°がどこにあたるかを図示できれば、
（３）は誘導無視で解くことができます。
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