問題ＰＤＦ
（１）
２つの数を１より大きな数で割った余りを考えます。
(あ）83と135をある数で割ると、余りが同じになりました。
このようなある数と余りの組合わせを（割る数、余り）の形ですべて答えなさい。
（い）次の条件を満たすような〔 〕に入る最も小さい数を答えなさい。
「41と〔 〕をある数で割ると、余りが同じになりました。
このようなある数と余りの組合せは５組あります。」
（２）
リンゴがＡの箱には219個、Ｂの箱には325個、Ｃの箱には410個入っています。Ａの箱に入っているリンゴを一袋に入れる個数が同じになるように袋詰めしたところ、いくつかリンゴが残りました。Ｂ、Ｃの箱に入っているリンゴについてもＡの箱の場合と同じ個数のリンゴを袋詰めしたところ、Ｂの箱には、Ａの箱よりも１個多く、Ｃの箱にはＢの箱よりも１個多くリンゴが残りました。そこで、この３つの箱に残ったリンゴを集めて同じように袋詰めをしたら、やはりいくつか残りましたが、その残りは作業をしてくれたみんなで分けました。
「あらかじめＢの箱から１個、Ｃの箱から２個のリンゴを取り出しておけば、Ａの箱のリンゴと同じ個数ずつ袋詰めしたときの余りは同じになる。」ことを使って（１袋に詰めたリンゴの個数、袋詰めに使った袋の枚数）の組合せをすべて答えなさい。
＠解説＠
（１）
割る数を〇、余りを★とする。
余りの★を除外した（83－★）と（135－★）は〇で割り切れる。
差の（135－★）－（83－★）＝135－83＝52も〇で割り切れる。
つまり、〇は52の約数である。
問題文より「割る数は１より大きい数」なので、
〇＝２、４、13、26、52
83÷２＝41…１
83÷４＝20…３
83÷13＝６…５
83÷26＝３…５
83÷52＝１…31
（割る数、余り）＝（２、１）（４、３）（13、５）（26、５）（52、31）
（い）
先ほどの逆の手順をおこなう。
求める数を□とする。
（□－★）と（41－★）は〇で割り切れる。
２数の差は？で、〇は？の１以外の約数である。
『〇と★の組合せが５組』→？の約数は１を含めて６個。
□は最も小さい数なので、？を大きくとる必要がある。
41未満で約数が６個の最大数は32。？＝32
（41－★）－（□－★）＝32
41－□＝32
□＝９
（２）
前問の考えがヒントになっている。
おまけに、あらかじめＢ－１、Ｃ－２をしておけば余りが同じになるとダダ漏れ。。
Ａ＝219個、Ｂ－１＝324個、Ｃ－２＝408個で１袋に〇個ずつ袋詰めをする。
すると、余りはすべて★になる。
それぞれの条件を確認しておく。
まず、Ａの袋詰めで余りが発生したので★は１以上。
余りの★は割る数の〇より小さい⇒１≦★＜〇
また、あらかじめ３個除外したので、実際の余りは★★★＋３個。
これをさらに〇個ずつ袋詰めして余ったから、★★★＋３＞〇でなくてはならない。
条件をまとめると、１≦★＜〇＜★★★＋３
（１）の考えを適用して、
（324－★）－（219－★）＝324－219＝105
（408－★）－（324－★）＝408－324＝84
105と84の最大公約数は21→21の約数は〔１、３、７、21〕
条件から〇は１より大きいので、〇＝〔３、７、21〕
〇＝３…Ａの219は位の和が３の倍数だから余り★が０になってしまう…。
１≦★の条件を満たさない。×！
〇＝７…219÷７＝31…２
★★★＋３＝２×３＋３＝９＞７ 条件適合！
（219＋325＋410）÷７＝954÷７＝136…２
〇＝21…219÷21＝10…９
★★★＋３＝９×３＋３＝30＞21 条件適合！
954÷21＝45…９
（１袋当たりの個数、袋の枚数）＝（７、136）（21、45）
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