2019年度 筑波大附属中学入試問題【算数】前半1~6解説

(1)①
16×0.875-1.6×3.75-0.16×12.5 を計算しなさい。

⑥下の図のように、模造紙をタイトル、地図、名前の3つの部分に分けて、
南北約360kmの九州の地図をかきます。
模造紙の大きさは縦100cm、横80cm、かいた地図の縮尺は45万分の1でした。
タイトル部分の縦の長さが名前部分の縦の長さの2倍になるとき、
タイトル部分の縦の長さを選びなさい。

ア:約19cm イ:約16cm ウ:約13cm
エ:約10cm オ:約7cm

⑦下の図で、(ア)の角の大きさを求めなさい。
 

(2)②
下の図のように、円、正方形、三角形が重なっています。
円、正方形、三角形のそれぞれの面積は70cm2、図形全体の面積は148cm2
3つの図形が重なっている(ア)の部分の面積が7cm2のとき、
斜線部分の面積を求めなさい。

(3)
下のような直方体の容器があり、この容器の底面に垂直になるように仕切りを入れます。
仕切りで分けられた3つの部分に同じ量の水を入れたところ、水面の高さがそれぞれ
12cm、5cm、4cmになりました。
容器から仕切りをとると水面の高さは何cmになりますか。
ただし、仕切りの厚さは考えないことにします。
 

(4)
弟は一定の速さで家から学校まで歩きます。
兄は弟が出発してから8分後に家を出発して一定の速さで歩きましたが、
途中で一度歩く速くを7/4倍に変えて学校まで歩きました。
すると、弟が出発してから40分後に、兄は弟に追いつき、弟より2分早く学校に到着しました。
このとき、弟が家を出発してからの時間と二人の距離の関係は、下の図のようになります。

①家から学校までの距離は何mですか。

②兄が歩く速さを変えたのは、弟が家を出発してから何分後ですか。

(5)
太郎さんと花子さんが、授業で学んだ内容について話し合いをしています。
太郎:次のような並べ方に従って数を並べたよ。いろいろな決まりがありそうだね。

①下線部①について、4段目の次にすべて奇数が並ぶのは何段目ですか。

②下線部②について、3段目以降の左から3番目の数について考えます。
100段目の左から3番目の数を求めなさい。

(6)
次にように、Aグループ、Bグループにそれぞれ9つの数があります。
Aグループ【1、2、3、4、5、6、7、8、9】
Bグループ【1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7、1.8、1.9

Aグループ、Bグループの中から数を1つずつ選び、それぞれa、bとします。
このとき、となるa、bの組み合わせは何通りありますか。


@解説@
(1)①
筑波大附属中の算数は40分試験で小問20問を解く。
処理手順が多く、難問もあるので、とにかく時間が足りない。
計算は手際の良さが肝心です(;´Д`)

掛け算の最初が16、1.6、0.16とケタ違いがあるので、
16×0.875⇒16÷10×0.875×10⇒1.6×8.75
0.16×12.5⇒16×10×12.5÷10⇒1.6×1.25
・・と、1.6×〇に加工する。

16×0.875-1.6×3.75-0.16×12.5
=1.6×8.75-1.6×3.75-1.6×1.25
=1.6×(8.75-3.75-1.25)
=1.6×3.75=8/5×15/4=6


模造紙の大半を占める、地図の縦の長さを求める。
360km×45万分の1
=360,000,00cm×450.000
=80cm
模造紙の残りの縦の長さは、
100-80=20cm
これをタイトル:名前=2:1で分かつので、
タイトルの縦の長さは、20×2/3=40/3=13.33…→ウ


平易な部類に入るので、迅速かつ確実に正解すること!

平行線をひいて錯角でもいけるが、外角定理がわかりやすいかな?
(ア)=180-(75+65)=40°

(2)②
3枚のベン図が重なったときの処理。
重なっている枚数に注目する。
3枚の図形の合計で210cm2
重なっている状態で全体の面積は148cm2
210-148=62cm2はどこを指すのか?

重なっている枚数がで、全体の面積をひくと枚数が-1される
すると、斜線が1枚で、(ア)が2枚。
この合計が62cm2となる。
よって、斜線部分の合計は62-7×2=48cm2

(3)
シンプルだが未経験だと難しい。
同じ量の水を入れたら、高さが12cm:5cm:4cm。
入れた水の量を、これらの最小公倍数である〔60〕とおく。
それぞれの底面積の比は、
〔60〕÷12:〔60〕÷5:〔60〕÷4=⑤:⑫:⑮
底面積全体の合計は、⑤+⑫+⑮=○32

仕切りをとると、〔180〕の水で底面積が○32だから、
〔180〕÷○32=45/8cm


(4)①
まずはグラフの読解。

兄が出発しても兄と弟で距離が開いたということは、
最初の兄の速さは弟よりも遅いことになる。
兄が弟を追い越して学校に到着したとき、弟は学校まで100mの地点にいた。
その2分後に到着するので、弟の速さは、100m÷2分=分速50m
弟は家~学校を47分間で歩いたから、分速50m×47分=2350m


難しめ(;`ω´)
本問のグラフだと気づきにくい糸口があるので、
ダイヤグラムに直したほうがわかりやすい。

兄の速度は、1:7/4=4:7に変換。
注目すべきは、兄が弟に追いついた40分後。

弟は分速50mなので、40分後は学校まで残り50×7=350m
歩いた距離は、2350-350=2000m
残り350mを兄は5分で歩ききるので、
兄の速さは、350m÷5分=分速70m
ここから、⑦=分速70m、④=分速40mとわかる。
あとは、兄が歩いた速さと時間で鶴亀算。

縦が速さ、横が時間、面積が距離。
赤枠の面積が兄が40分間に歩いた距離2000m。
左上の面積が70×32-2000=240
240÷(70-40)=8分
したがって、兄が歩く速さを変えたのは、
弟が家を出発してから,8+8=16分後

(5)①
二項定理にでてくるパスカルの三角形。
手で書いて調べる。

左右対称なので、半分まで調査すればOK!
次に奇数が並ぶのは、8段目。


3段目以降の左から3番目の数を並べてみる。
【1、3、6、10、15、21…】
3段目からスタートなので、100段目はこの数列の98番目にあたる。

【1、3、6、10、15、21…】の数列は+2、+3、+4…
いわゆる三角数で、上のように図形に置き換えると点の並びが三角形になる。
98番目の数は●が98段になるから、言い換えれば、1~98の総和が答えになる
(1+98)×98÷2
=99×49=(100-1)×49
=4900-49=4851

@二項定理@
高校生で習う二項定理を用いると、パスカルの三角形の100段目の数は左から、
990991992…となり、992=99・98/2=4851

(6)
ということは分母分子が同じ値なので、a+b=a×b。
つまり、和と積が等しい組合せを選ぶ

Aグループ【1、2、3、4、5、6、7、8、9】
Bグループ【1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7、1.8、1.9】

Aグループで1を選ぶと積がbとなり、積b<和a+bとなるから誤り。
ここからどうすべきか迷う( ;´Д`)
掛け算をして小数第1位が和と同じになるかをチェックするのだと思われる。
例えば、1.1×2=1.2は小数第1位が2になる。1.1+2=3.1だから×。
1.1×□=○.1は□=1だけで、Aグループで1はダメなので無し(□≠1)。

1.2×□=○.2 □=6
1.3×□=○.3 □=なし
1.4×□=○.4 □=6
1.5×□=○.5 □=3、5、7、9
1.6×□=○.6 □=6
1.7×□=○.7 □=なし
1.8×□=○.8 □=6
1.9×□=○.9 □=なし
このなかで、実際に積と和が等しくなる組み合わせは、
(a、b)=(6、1.2)(3、1.5)
以上、2通り。
算数の範囲でもっとわかりやすい解法を見つけた方は、
お問い合わせから教えて下さいませ( ;´Д`)

@文字式@
数学を使っても良いのなら、中1(1学期)レベルの数学でもっと楽に解ける。
a+b=a×b
a=ab-b=b(a-1)
b=a/(a-1)
aを整数とする。
(a-1)とaは連続する2つの整数
bは〔ある整数÷1コ手前の整数〕の値となる。

Aグループ【1、2、3、4、5、6、7、8、9】
Bグループ【1.1、1.2、1.3、1.4、1.5、1.6、1.7、1.8、1.9】

a=1 b=1/0=×(割る数が0だから)
a=2 b=2/1=2(2はBグループにない×)
a=3 b=3/2
a=4 b=4/3
a=5 b=5/4
a=6
 b=6/5
a=7
 b=7/6
a=8 b=8/7
a=9 b=9/8
このなかで、bが小数第1位になるのは、
(a、b)=(3、1.5)(6、1.2)
いずれにせよ、時間がかかる。。
後回しにして、他を確実にとった方がいいかも。
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